Hesse-Determinante

24.12.2007, 11:15

Kira 007

Hesse-Determinante

Hallo zusammen

ich möchte gerne von folgender funktion die Hesse-matrix berechnen
die dazugehörigen Ableitungen habe ich schon berechnet.

Ich weiß jetzt nicht wie ich die ersten Ableitungen weiterausrechen soll, die die notwendige Bedingung erfüllen, da ich verschiedene Exponenten habe.Mit Hilfe der Additionsmethode klappt es nicht. Wie könnte ich dieses Problem sonst lösen.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=3xy^3-2x^2y^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'x=3y^3-4xy^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'y=9xy^2-6x^2y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fxx''=-4y^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fyy''=18xy-12x^2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fxy''=9y^2-12xy^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fxy''=9y^2-12xy^2 \end{eqnarray*}$

24.12.2007, 11:25

kiste

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Hallo,

du willst sicher nicht die Hesse-Matrix berechnen, denn dazu musst du nur noch die Ableitungen in eine Matrix schreiben.

Was du wirklich machen willst ist die Hesse-Matrix in den kritischen Punkten zu berechnen.

Beachte das ein Produkt 0 wird wenn genau ein Faktor 0 ist und klammere jetzt einfach in den ersten Ableitungen geschickt aus.

24.12.2007, 12:22

Kira 007

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oh das stimmt Freude

$\begin{eqnarray*} fz'=3y^3-4xy^3 \end{eqnarray*}$

wenn ich hier ausklammere erhalte ich

$\begin{eqnarray*} y^3(3-4x)=0/y^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3-4x=0/-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2=0,75 \end{eqnarray*}$
x1=0 und x2=0,75

jetzt muss ich das doch auch noch mit der Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'y=9xy^2-6x^2y^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2(9x-6x^2)=0/y^2 \end{eqnarray*}$ x3=0

$\begin{eqnarray*} -6x^2+9x=0 \end{eqnarray*}$

durch p und q Formel erhalte ich noch
x4=0 und x5=-1,5

also müssten die x Werte an denen Extrempunkte liegen könnten x1=0 x2=0,75 x3=0 x4=0 und x5=-1,5 sein

24.12.2007, 12:32

kiste

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Das ist weder gänzlich falsch noch richtig.

Du hast noch keine Untersuchung der y-Werte gemacht, und doch teilst du bedenkenlos durch y?

Gehe doch einmal systematisch vor:
$\begin{eqnarray*} y^3(3 - 4x) = 0 \end{eqnarray*}$
Jetzt ein Produkt wird 0 wenn einer Faktoren 0 wird.
Also y = ? oder x = ?.
Und jetzt setze die beiden möglichen Werte in die untere Bedingung ein

24.12.2007, 13:56

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} y^3(3 - 4x) = 0 \end{eqnarray*}$

y1=0 y1 müsste somit Null sein

wo soll ich danach was einsetzten, weiß jetzt nicht genau was Du meinst!!!

$\begin{eqnarray*} 0(3 - 4x) = 0 \end{eqnarray*}$ so

24.12.2007, 14:05

kiste

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Die partiellen Ableitungen müssen beide 0 ergeben.
Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = 0 \vee x = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .
D.h. einer der beiden ist eine notwendige Bedingung.

Jetzt betrachte $\begin{eqnarray*} f_y(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y(\frac 3 4, y)=0 \end{eqnarray*}$ , setzte also die notwendigen Bedingungen in die 2. Bedingung ein.

24.12.2007, 14:16

Kira 007

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Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = 0 \vee x = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

bedeutet das jetzt das y1=0 und x1 = 3/4 ist, und somit in dem Punkt (3/4,0) ein möglicher Extremwert liegen könnte.

24.12.2007, 14:20

kiste

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Das ist tatsächlich ein kritischer Punkt, die Begründung ist aber falsch!

Nicht y1 = 0 und x1 = 3/4 sondern:
Entweder y=0 ODER x=3/4. D.h. das sind die Werte so das die 1. Bedingung 0 wird. Jetzt musst du diese Möglichkeiten in die 2. Bedingung einsetzen.

24.12.2007, 14:23

Kira 007

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könnte ich für diese Werte nicht noch die x und y werte berechen, denn normalerweise habe ich doch immer einen Punkt der aus einer x und einer yKoordinate besteht

24.12.2007, 14:26

kiste

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Zitat:

Original von kiste
Jetzt betrachte $\begin{eqnarray*} f_y(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y(\frac 3 4, y)=0 \end{eqnarray*}$ , setzte also die notwendigen Bedingungen in die 2. Bedingung ein.

Lese bitte auch was ich schreibe.

24.12.2007, 14:42

Kira 007

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Ok ich versuche mal die Punkte komplett auszurechen.

Als hinreichende Bedingung gilt.
$\begin{eqnarray*} f''xx<f''yy<0 \end{eqnarray*}$ dann könnte ein Maximum vorliegen

$\begin{eqnarray*} f''xx>0fyy''>0 \end{eqnarray*}$ könnte ein minimum vorliegen

für den Punkt (0;0) erhalte ich

$\begin{eqnarray*} -4*0^3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 18*0*0-12*0^2*0=0 \end{eqnarray*}$

da beide zweiten Ableitungen gleich Null sind liegt somit auch kein Extremwert an der Stelle (0;0)

24.12.2007, 15:37

kiste

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Deine Bedingungen hier kenne ich nicht, durch was sind die den motiviert?

Jedenfalls stimmt deine Untersuchung für (0,0) den dort ist die Hessematrix gerade die Nullmatrix also indefinit

24.12.2007, 15:41

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f''xx<f''yy<0 \end{eqnarray*}$ dann könnte ein Maximum vorliegen

$\begin{eqnarray*} f''xx>0fyy''>0 \end{eqnarray*}$ könnte ein minimum vorliegen
habe nochmal etra nachgeschaut diese bedingungen stehen so in meinem Script, kennst Du andere

24.12.2007, 18:14

system-agent

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du musst die definitheit der hesse-matrix an der gegebenen stelle überprüfen um zu entscheiden was für extrema vorliegen (oder eben auch nicht), das ist gerade der witz der hesse-matrix...

edit:
wie so häufig findet man bei wikipedia (hier) eine nette beschreibung über die hesse-matrix smile

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