limes von x / e^x für x gegen unendlich

24.12.2007, 16:02

jemand....

limes von x / e^x für x gegen unendlich

Guten Tag,

Folgende Funktion:

f(x) = x / (e^x)

Gegen was strebt der Funktionswert für x gegen unendlich?

Ich weiß: Er strebt gegen Null.

Aber welche Erklärung gibt es, außer zu sagen, dass Exponential-Funktionen schneller wachsen als Potenzfunktionen?

24.12.2007, 16:08

naja

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am einfachsten kapierst man es mit zahlenwerte.

x=3

f(x) = $\begin{eqnarray*} 3 / e^3 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0.149....... \end{eqnarray*}$

x=10

f(x) = $\begin{eqnarray*} 10 / e^{10} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0.000453.... \end{eqnarray*}$

x=20

f(x) = $\begin{eqnarray*} 20 / e^{20} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0.000000041... \end{eqnarray*}$

der divisor wächst immer schneller (expontial) als der zähler, da ja immer die zahl 2.7 (der wert der e-funktion sehr grob gerundet) immer öfters mit sich selbst multipliziert wird.

und das ist eigentlich die begründung, was genau willst du jetzt noch hören?!?

24.12.2007, 16:09

20_Cent

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Du könntest das Sandwichlemma benutzen, größer als 0 ists offensichtlich, wenn du es nun nach oben abschätzen willst, machst du den Nenner kleiner, schreibst einfach nur die ersten Glieder der e-Reihe hin, es reichen die ersten 3.
mfG 20

edit: An naja: Das ist keine ausreichende Begründung.

edit2: Wir sind in der Schulmathe, hab nicht aufgepasst... Dafür reicht dann wohl die Begründung, dass die e-Funktion schneller wächst, wenn du schon L'Hospital hattest, kannste den aber auch anwenden (wobei das wahrscheinlich wieder auf einen Ringschluss führt...)

24.12.2007, 16:09

Airblader

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@naja
Einen Beweis / Erklärung ist das aber nicht.

Was man natürlich anwenden könnte wäre l'Hospital.

air

24.12.2007, 16:11

tmo

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analytische beweise dafür gibt es viele.

z.b. l'hoptial oder du kannst auch mal $\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ mit hilfe von bernoulli abschätzen.

24.12.2007, 16:12

naja

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Zitat:

Original von Airblader
@naja
Einen Beweis / Erklärung ist das aber nicht.

Was man natürlich anwenden könnte wäre l'Hospital.

air

kann man lospital nicht nur dann anwenden wenn man auf die situation 0/0 bzw. unendlich / unendlich trifft?!?

ich glaub nach einem beweis hat er auch nicht wirklich gefragt, es war imo nur ein vorstellungsproblem warum die funktion bei wachsendem x immer kleiner bzw. näher null geht.