Grenzwert einer geometrischen-Mittelfolge

25.04.2005, 16:37

phi

Grenzwert einer geometrischen-Mittelfolge

Hallo alle,

Ich komm´ nicht weiter mit der Bestimmung eines allg. bzw. eines speziellen Grenzwertes (Aufgabe aus K.Knopps "Theorie und Anwendung unendlicher Reihen") : Die Folge (x_n) ist so definiert:

(Das Latex gibt ständig die Fehlermeldung mit Mathaccent auch wenn überhaupt keine Lücken/Absätze da sind !???)

1) x_n= sqrt{x_n-1*x_n-2} für x_0,x_1> 0 (allgemein)

2) und speziell für x_0=1 und x_1=2. Bestimme Grenzwert.

Also beim Ersten hab ich eingesetzt und erhalte

x_2=sqrt{x_1 * x_0}
x_3=sqrt{sqrt{x_1^3 * x_0}}
x_4=sqrt{sqrt{sqrt{x_1^5 * x_0^3}}}
...

Beim Zweiten also

x_2=sqrt{2}
x_3=4.Wurzel von 2^3
x_4=6.Wurzel von 2^5
x_5=8.Wurzel von 2^7
...
was auf den speziellen Grenzwert=2 hinausläuft, aber laut Buch sollte die 3. Wurzel aus 4 (also aus 2^2) als Grenzwert herauskommen.

Wo liegt der Fehler? verwirrt

25.04.2005, 17:23

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Welche Rekursion meinst du denn nun:

$\begin{eqnarray*} x_n= \sqrt{x_{n-1}+x_{n-2}} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_n= \sqrt{x_{n-1}\cdot x_{n-2}} \end{eqnarray*}$ ?

25.04.2005, 17:29

phi

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Sorry. "*" , natürlich: geom. Mittel..

25.04.2005, 18:04

jovi

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RE: Grenzwert einer geometrischen-Mittelfolge
Deine Formel scheint nicht zu stimmen:

Zitat:

x_4=6.Wurzel von 2^5

hier fängt es an - es müsste wohl 2^(5/8) heissen.

25.04.2005, 18:45

phi

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Danke, du hast recht, ich hatte schusseligerweise die Wurzelexponenten addiert statt multipliziert... Buschmann

Ich bin mir nur noch nicht ganz sicher ob das beim ersten (allg.) Fall weiterhilft, ich versuch´s jedenfalls nochmal.

25.04.2005, 18:48

etzwane

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ichhatte mal Lust zu rechnen und erhalte für das n-te Glied der Folge

$\begin{eqnarray*} x_n = x_0^{\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}} * x_1^{\frac{a_{n}}{2^{n-1}}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{3}(2^n - (-1)^n) \end{eqnarray*}$

Probe für n=4:
$\begin{eqnarray*} 2^{4-1}=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=\frac{1}{3}(16+1)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{3}(8+1)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4=x_0^{\frac{3}{8}}*x_1^{\frac{5}{8}} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} x_4 = 2^{\frac{5}{8}} \text{ für } x_0=1 \text{ und } x_1=2 \end{eqnarray*}$

25.04.2005, 18:50

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RE: Grenzwert einer geometrischen-Mittelfolge
Ich würde zur Folge $\begin{eqnarray*} y_n=\log_2(x_n) \end{eqnarray*}$ übergehen: Dann ist

$\begin{eqnarray*} y_n=\frac{1}{2}\left(y_{n-1}+y_{n-2}\right) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} y_0=0,\quad y_1=1 \end{eqnarray*}$ .

Für rekursive Folgen diesen Typs gibt es nun Methoden, eine explizite Darstellung zu finden, verwandt denen zur Lösung linearer Dgl. mit konstanten Koeffizienten. Um es kurz zu machen - hier hilft der Ansatz

$\begin{eqnarray*} y_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} \end{eqnarray*}$ die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^2=\frac{1}{2}\left(\lambda+1\right) \end{eqnarray*}$

sind. $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ kriegt man aus den Anfangswerten $\begin{eqnarray*} y_0,y_1 \end{eqnarray*}$ raus.

25.04.2005, 19:03

etzwane

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RE: Grenzwert einer geometrischen-Mittelfolge

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich würde zur Folge $\begin{eqnarray*} y_n=\log_2(x_n) \end{eqnarray*}$ übergehen:
...

Ja, wie ich fast fertig war, kam mir auch der Gedanke, dass es mit dem Übergang zu Logarithmen einfacher sein könnte, nur eben zu spät.
Jetzt weiß ich es ...

25.04.2005, 19:30

phi

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Danke euch beiden, freu. (Fast) Alle Unklarheiten beseitigt! smile

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