abstand zweier geraden im R³

25.04.2005, 19:46	Millhouse	Auf diesen Beitrag antworten »
abstand zweier geraden im R³ hallo. ich habe 2 geraden: $\begin{eqnarray} g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ von denen brauche ich den abstand, und dazu haben wir folgenden lösungsweg aufgeschrieben: 1. bestimmung der ebene E mit $\begin{eqnarray} g\in E \end{eqnarray}$ und E snkrecht zu h 2. bestimmung von $\begin{eqnarray} F_h \end{eqnarray}$ =h geschnitten mit E 3. bestimmung einer geraden k mit k senkrecht zu g, k senkrecht zu h, $\begin{eqnarray} F_h\in k \end{eqnarray}$ 4. bestimmung von $\begin{eqnarray} F_g \end{eqnarray}$ = k geschnitten mit g 5. d= $\begin{eqnarray} \mid \vec{F_h} \vec{F_g} \mid \end{eqnarray}$ ich weiß, dass es noch andere lösungswege gibt, aber mit diesem bekommt man auch die lotfußpunkte. nur leider bin ich da jetzt etwas aufgeschmissen. kann mir vielleicht bitte jemand einen ansatz zu 1. geben? danke im voraus...
25.04.2005, 19:52	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abstand zweier geraden im R³ Für eine Ebene brauchst du zwei Dinge: 1) einen beliebigen Punkt auf dieser Ebene 2) einen Normalenvektor der Ebene Den Punkt bekommst du über die Information, dass die Gerade g in der Ebene liegen soll. Den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ bekommst du über die Richtungsvektoren der Gerade, denn $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ steht jeweils senkrecht auf den Richtungsvektoren. Hast du selbst eine Idee, wie du auf $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ kommen könntest?
25.04.2005, 20:12	Millhouse	Auf diesen Beitrag antworten »
hm... also ich glaube ich hätte jetzt das kreuzprodukt der beiden richtungsvektoren der geraden gebildet... oder ist das mit kanonen auf spatzen geschossen? und den ortsvektor von g kann ich als den belibigen punkt nehmen, oder?
25.04.2005, 20:46	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau so funktioniert es Wenn man das Kreuzprodukt nicht kennt, kann man auch über ein Gleichungssystem auf den Normalenvektor kommen, aber ich persönlich bevorzuge auch das Kreuzprodukt.
25.04.2005, 21:58	Millhouse	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, habe mich jetzt vorgekämpft bis nr. 3: wenn ichs richtig verstanden habe, ist der ortsvektor von k das kreuzprodukt, was ich gerade berechnet habe, also das aus den richtungsvektoren der beiden geraden. dieser vektor steht ja senkrecht auf beiden geraden, oder? also nehme ich einfach den als richtungsvektor und $\begin{eqnarray} F_h \end{eqnarray}$ als ortsvektor, richtig?
26.04.2005, 15:34	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaargh, Danke für dein letztes Posting Ich habe gerade gesehen, dass ich dir für die Ebene E einen falschen Tip gegeben habe. Ich hatte einen anderen Ansatz im Kopf und habe die Aufgabe nur flüchtig durchgelesen ascheübermeinhaupt Also nochmal zurück zu 1) Die Ebene E soll die Gerade g enthalten und senkrecht zur Gerade h sein. Wenn die Gerade g enthalten sein soll, dann kannst du den Stützpunkt von g als Punkt der Ebene E annehmen. Da die Ebene senkrecht zu h sein soll, kannst du für den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ den Richtungsvektor von h nehmen. Soviel zur Korrektur. Die erste Rechnung war aber trotzdem nicht umsonst. Wie du schon festgestellt hast, ist das Kreuzpodukt der Richtungsvektoren senkrecht auf diesen. Deshalb kannst du den gefundenen Vektor als Richtungsvektor der Geraden k nehmen. Der Punkt F_h kann als Stützpunkt benutzt werden. Ab hier stimmt es also wieder Gruß Calvin
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