Gleichung in abhängigkeit von k

25.12.2007, 16:59

Karen89

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Gleichung in abhängigkeit von k

Hallo
habe hier eine gleichung mit einer konstanten k, die ich nach x auflösen soll:

k*x^2 +x - 3k^2 *x - 3k = 0

hab schon all mögliches ausgeklammert aber ich komm nicht auf die vorgegebene lösung (0; 3k; -1/k) verzweifel daran total unglücklich

unglücklich

hat jmd einen tipp für mich : ) ?

25.12.2007, 17:14

riwe

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RE: Gleichung in abhängigkeit von k
das ist doch eine einfache quadratische gleichung, also pq-formel verwenden,
und 0 ist (NUR) lösung für k = 0

25.12.2007, 18:10

Karen89

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nein, das stimmt nicht. die lösungen hab ich ja. das ist aus dem abitur-trainingsbuch. da kommt noch -1/k und 3k raus.... unglücklich

unglücklich

(

25.12.2007, 18:14

Karen89

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sorry hab das falsch verstanden.... wie soll ich denn darauf die pq formel anwenden ?

25.12.2007, 18:22

tmo

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$\begin{eqnarray*} kx^2+x-3k^2x-3k=0 \Longleftrightarrow kx^2+(1-3k^2)x+(-3k)=0 \end{eqnarray*}$

jetzt erstmal fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \end{eqnarray*}$ und für den zweiten fall hat pq-formel oder diese abc-formel

25.12.2007, 18:31

Karen89

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muss ich dann nicht erst mal alles durch k teilen, um das zu normieren? wär doch dasselbe wenn da stünde 5x^2 oder?

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25.12.2007, 18:47

tmo

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ja.

und genau deswegen ja die fallunterscheidung.

25.12.2007, 19:59

Karen89

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naja dann bin ich bis dahin gekommen:

kx^{2} + (1-3 k^{2} )x -3k = 0
<=> x^{2} + (\frac{1-3 k^{2}}{k})x -3 = 0
<=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{ (\frac{1-3k^{2}}{2k})^{2} + 3 } = x
<=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{(\frac{1-6k^{2}+ 9k^{4}}{4k^{2}}} +3 = x
<=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \frac{1}{2k} \sqrt{1-3k^{2} + 9k^{4}}

und dann komm ich nicht weiter. hab schon versucht ob die summe unter der wurzel eine bin.formel ist, aber das klappt iwie nicht...

25.12.2007, 20:01

Karen89

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so...

$\begin{eqnarray*} kx^{2} + (1-3 k^{2} )x -3k = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> x^{2} + (\frac{1-3 k^{2}}{k})x -3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{ (\frac{1-3k^{2}}{2k})^{2} + 3 } = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{(\frac{1-6k^{2}+ 9k^{4}}{4k^{2}}} +3 = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \frac{1}{2k} \sqrt{1-3k^{2} + 9k^{4}} \end{eqnarray*}$

[ModEdit: LaTex verbessert]

25.12.2007, 20:03

Karen89

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sorry hab noch nie mit so einem editor gearbeitet...

$\begin{eqnarray*} kx^{2} + (1-3 k^{2} )x -3k = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> x^{2} + (\frac{1-3 k^{2}}{k})x -3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{ (\frac{1-3k^{2}}{2k})^{2} + 3 } = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{(\frac{1-6k^{2}+ 9k^{4}}{4k^{2}} +3} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \frac{1}{2k} \sqrt{1-3k^{2} + 9k^{4}} \end{eqnarray*}$

[ModEdit: LaTex verbessert. mY+]

26.12.2007, 00:39

mYthos

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2 Fehler sind drin, erstens muss bei der p-q - Formel vor dem p/2 ein Minus stehen und zweitens stimmen unter der Wurzel die $\begin{eqnarray*} -3k^2 \end{eqnarray*}$ nicht.

mY+

Ceterum censeo
(im übrigen meine ich)

die abc - Formel führt da weit angenehmer zum Ziel:

$\begin{eqnarray*} kx^{2} + (1-3 k^{2} )x -3k = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-(1-3k^2) \pm \sqrt{(1-3k^2)^2 + 12k^2}}{2k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 11:16

~Karen~

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ok, danke ....leider komm ich jetzt nicht mit diesen $\begin{eqnarray*} 12k^{2} \end{eqnarray*}$ klar. wenn ich die quadriere hab ich zwar die wurzel aufgelöst aber auf der anderen seite wieder k und x,was mir meiner ansicht nach nicht wirklich weiterhilft. hat jmd noch einen tipp für mich ?

28.12.2007, 11:38

klarsoweit

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Bleiben wir mal bei deinem Lösungsweg:

Zitat:

Original von Karen89
$\begin{eqnarray*} <=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{(\frac{1-6k^{2}+ 9k^{4}}{4k^{2}} +3} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> ( \frac{1-3 k^{2}}{2k}) \pm \frac{1}{2k} \sqrt{1-3k^{2} + 9k^{4}} \end{eqnarray*}$

Zum einem hast du beim Term unter der Wurzel beim Addieren der 3 elementare Bruchrechenregeln mißachtet. Zum anderen muß vor dem ersten Bruch ein Minus. Das hatte übrigens schon mYthos gesagt.

28.12.2007, 12:08

~Karen~

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das hab ich auch verstanden, aber es geht mir darum, wie ich das auflösen soll...siehe oben : quadrieren & co aber da komm ich halt nicht weiter unglücklich

unglücklich

28.12.2007, 12:15

klarsoweit

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Nun mal Geduld. Du hast doch schon deine Lösungen. Die mußt du nur geeignet umformen. Und das mußt du eben richtig machen, sonst wird das nichts.

28.12.2007, 12:30

~Karen~

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geht das so? bin mir nicht sicher ob ich beides aus der wurzel ziehen darf...
nur das ergebnis wäre dann 2 mal -1/k ...da würden die 3k fehlen unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} -( \frac{1-3k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{ \frac{1-6k^{2}+9k^{4}+12k^{2}}{4k^{2}}} =x<=> -( \frac{1-3k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{ \frac{1+6k^{2}+9k^{4}}{4k^{2}}}=x<=> -( \frac{1-3k^{2}}{2k}) \pm \sqrt{ \frac{(1+3k^{2})^{2}}{4k^{2}}}=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> -( \frac{1-3k^{2}}{2k}) \pm (\frac{1+3k^{2}}{2k})=x \end{eqnarray*}$

EDIT: Zeilenumbruch eingebaut (klarsoweit)

28.12.2007, 12:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von ~Karen~
geht das so? bin mir nicht sicher ob ich beides aus der wurzel ziehen darf...

Ja, das geht so.
Und ja, du darfst auch die Wurzel so ziehen, wobei du dabei streng genommen die Fälle k > 0 und k < 0 unterscheiden müßtest, was hier aber in der weiteren Folge keinen Unterschied liefert.

Zitat:

Original von ~Karen~
geht das so? bin mir nicht sicher ob ich beides aus der wurzel ziehen darf...
nur das ergebnis wäre dann 2 mal -1/k ...da würden die 3k fehlen unglücklich

unglücklich

Wieso? Du mußt den 2. Bruch einmal addieren und einmal subtrahieren. Was hast du gerechnet?

28.12.2007, 14:20

~Karen~

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erklärt mir jemand netterweise wie man einen zeilenumbruch macht? bitte.

habs raus smile

smile

smile

hatte nur mal wieder ein vorzeichen vergessen. komme auf $\begin{eqnarray*} 3k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ . vielen dank euch allen smile

smile

28.12.2007, 14:24

tigerbine

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Zitat:

erklärt mir jemand netterweise wie man einen zeilenumbruch macht? bitte.

code:
1:	\\

28.12.2007, 14:30

~Karen~

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dankeschön smile

smile

20.02.2008, 23:56

rappozappo

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Zitat:

Original von mYthos
die abc - Formel führt da weit angenehmer zum Ziel:

Hallo, ich würde gern mehr wissen^^

also die allgemeine Formel ist : ax² + bx + c ....

die abc-Formel habe cih auch gerade rausgesucht:
$\begin{eqnarray*} x1/2 = \frac{-b \pm \sqrt{b²-4ac} }{2a} \end{eqnarray*}$

aber im Endeffekt muss man doch trotzdem die ganzen Terme reinsetzen und es wird wieder so lang und "kompliziert" oder?
Sollte man die abc-Formel für das Abitur Auswendig können weil es so wichtig ist? weil es steht nicht im Formelbuch!!

21.02.2008, 08:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von rappozappo
aber im Endeffekt muss man doch trotzdem die ganzen Terme reinsetzen und es wird wieder so lang und "kompliziert" oder?

Das ist zu befürchten. smile

smile

Zitat:

Original von rappozappo
Sollte man die abc-Formel für das Abitur Auswendig können weil es so wichtig ist? weil es steht nicht im Formelbuch!!

Die Kenntnis entweder dieser oder der p-q-Formel halte ich für ratsam.

22.02.2008, 13:01

mYthos

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Die abc-Formel kann die infolge $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ entstehenden Teil-Brüche vermeiden (einer vor der Wurzel, einer in der Wurzel!!), sodass von vornherein nur ein einziger Bruch entsteht.

mY+

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