Schiefkörper-Elemente als Summen von Quadraten

26.04.2005, 14:58	Peti	Auf diesen Beitrag antworten »
Schiefkörper-Elemente als Summen von Quadraten Hallo zusammen, vielleicht kann mir jemand mit folgendem Problem weiterhelfen: Gegeben sei ein Schiefkörper K. Seine multiplikative Gruppe sei K* (also K{0}). S sei die Menge aller endlichen Summen, die man aus Elementen folgender Form bilden kann: $\begin{eqnarray} a_{1}^2a_{2}^2a_{3}^2....a_{k}^2 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{2} \end{eqnarray}$ ,... Elemente aus K sind, und alle ungleich Null sein sollen. Also ist S die Menge aller Summen aus Elementen, die aus Produkten von quadrierten Elementen aus K besteht. Nun ist die Aussage, dass man sofort sehen kann, dass s Element von S -> $\begin{eqnarray} z^{-1}sz \end{eqnarray}$ ist ebenfalls Element von S Anders ansgedrück: wenn ich $\begin{eqnarray} z^{-1} \end{eqnarray}$ von links und z von rechts an ein s heranmultipliziere, dann bleibt das Ganze ein Element aus S. Wieso ist das so? Gibt es einen Satz, der aussagt, dass man Schiefkörperelemente IMMER als eine solche Summe quadratischer Elemente darstellen kann? Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen... (eilt leider auch noch...) Danke schonmal, Gruß, Peti
26.04.2005, 22:02	Peti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja... was noch fehlte Ach ja, z sind beliebige Elemente aus K*....
27.04.2005, 09:34	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe auch keine richtige Lösung aber vielleicht sind diese Gedanken trotzdem hilfreich: man kann relativ leicht zeigen, das S eine Untergruppe von K* bez Multiplikation ist, wenn man die 0 dazunimmt ist S auch bezüglich Addition abgeschlossen und damit auch ein Unterkörper. Die Bedingung die du forderst, sagt, das S auch ein Normalteiler der Gruppe K* ist. Man könnte zB überlegen, was es noch für Normalteilerkriterien in Schiefkörpern gibt

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