Vektorgeometrie

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Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorgeometrie
tja.
Meiner Meinung nach ein wichtiges Thema...

Hat wer interessante Aufgaben dazu?

Wir hatten eine Prüfung mit einer witzigen Aufgabe, aber ich hab das Blatt nicht da, und kenn deshalb die Koordinaten nicht...

sorry.
Ich schau, ob ich es noch auftreiben kann.

Wer hat schon mit Vektoren gearbeitet? (2D oder 3D?)

mfg
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorgeometrie
Hmmm
Vektoren haben wir auf der Oberstufe gemacht hab aber schon wieder vergessen wies geht traurig
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben mit vektoren bei den komplexen zahlen gearbeitet, sozusagen als darstellung in der ebene, da diese ja einen realteil und einen imaginärteil haben.
da war halt dann vektoraddition und vektormultiplikations usw. is ja relativ einfach...

dann hab ich mal ein buch angefangen zu lesen, wo es um spieleprogrammierung mit directx + c++ geht, da werden auch grundlagen einer 3dengine behandelt, und da hab ich auch mal davon gehört Augenzwinkern
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

vektormultiplikation an sich gibt es aber nicht, entweder das skalar- oder das kreuzprodukt zweier vektoren. ich hab vekoten schon behandelt, mit ebenen, geraden, winkeln zw. vektoren und allem drum und dran. bin aber leider zu faul um jetzt aufgaben rauszukramen Augenzwinkern wenn du welche hast poste die mal!

p.s.: die multiplikation von den ortsvektoren von komplexen zahlen läuft auch völlig ohne bezug zu irgendeiner operation von "echten" vektoren ab; multiplikation komplexer zahlen ist ja eher eine "drehstreckung", beim skalarprodukt geht es aber um winkel zwischen vektoren bzw. beim kreuzprodukt um einen rechtwinklig auf zwei anderen stehenden vektor.
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

ja, da könntest du recht haben Augenzwinkern
bei uns war das nämlich so ne "drehstreckung" ...
ich denke im mathe lk werden wir das dann auch richtig behandeln smile
jama Auf diesen Beitrag antworten »

mit kreuzprodukt meinste wohl vektorprodukt smile

ich poste gleich mal ne digge abituraufgabe zum thema Augenzwinkern
 
 
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

"kreuzprodukt" und "vektorprodukt" verhalten sich synonym! wir haben das (meistens) kreuzprodukt genannt.
jama Auf diesen Beitrag antworten »

so hier die aufgabe. bin mal gespannt, ob das überhaupt irgendwer komplett lösen kann smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ich werds mal demnächst versuchen. Schnittgerade von Ebenen etc. haben wir noch nicht gehabt in der Schule.
Kommt aber demnächst (nächste Woche wahrscheinlich) und dann versuch ich die Aufgabe mal...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

schnittgeraden von ebenen sind ziemlich einfach zu errechnen ..... auch mit den einfachsten mitteln, die du ja schon haben wirst. es dauert halt nur bisschen bis du das ergebnis hast smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

@jama:
wie gesagt, nächste Woche Big Laugh

ich muss mir da dann doch etwas Zeit nehmen X(

mfg
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hier mal die Aufgabe, die wir an der Prüfung hatten (ist eigentlich recht leicht):

Das Dreieck ABC ist die Grundfläche eines geraden Prismas mit der Höhe h.
A(1/2/1), B(1/-1/0), C(5/2/3), h = 14

a) Gib die Koordinaten der Punkte des Dreiecks DEF an.
b) Berechne alle drei Winkel, die die Seitenflächen miteinander einschliessen!
c) Berechne das Volumen und die Oberfläche dieses Körpers.

mfg
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

X( X( X( X( X( X(

kann das niemand?
Ich dachte, hier können soviele mit Vektoren umgehen?
Und schwer ist die Aufgabe ja nicht...

mfg
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

der jama sollte das doch können.

und wenn nötig, dann mach ich das selber und lern des schnell Augenzwinkern
jama Auf diesen Beitrag antworten »

huch, seh deinen beitrag zum ersten mal. lösung kommt irgendwann mal Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

und ich hab gerade gesehen, dass ich bei deinen Aufgaben das A - C relativ schnell hinkriegen könnte und für das andere brauch ich noch etwas länger...

h: (x/y/z)=(4/6/-3) + t*(4/-1/1)
g: (x/y/z) = (2/0/8 ) + s*(4/-6/-4)

Dann schreiben wir mal die Rechnung um zu schauen, wie die Lagebeziehung dieser zwei Geraden ist...

4 + 4t = 2 + 4s
6 - t = 0 - 6s

=> s = -1.3
=> t = -1.8

t - 3 = 8 - 4s
-1.8 - 3 = 8 - 4*(-1.3)
-4.8 = 13.2

das bedeutet, die Geraden sind Windschief, oder hab ich irgendwo einen Rechenfehler?

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

nach deiner rechnung könnten die aber auch parallel sein. du hast einen schritt vergessen -> die richtungsvektoren zu überprüfen Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ja...ich weiss. Ich mach das jetzt schnell. Ich beweise, dass die nicht parallel sind...

gibt es ein q, so dass die beiden Richtungsvektoren gleich sind?

(4/-1/1)
(4/-6/-4)

so...

(4/-1/1) = q * (4/-6/-4)

4 = q * 4 => q = 1
-1 = q * -6 => q = 6

also, sind die beiden nicht parallel...

den Rest mach ich morgen...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

fazit: die richtungsvektoren sind nicht kollinear und somit die geraden nicht parrallel Augenzwinkern

ich warte schon gespannt auf den rest Big Laugh
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

@jama:
tja...mal schauen.

ich bräuchte jetzt ein Blatt Papier...
ich muss da wohl morgen dran...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn es nur an einem blatt papier mangelt .... wir sind allesamt bereit, dir eins per post zu schicken. naja, ich jedenfalls Big Laugh
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ok Augenzwinkern
Brauchst du meine Adresse? :P

nee...ich machs morgen. Jetzt muss ich noch für ne Homepage arbeiten...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

gut, ich glaubs dir mal smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

Also, dann rechnen wir mal den Abstand zu h und E1 Augenzwinkern

da müsste ich wissen, wie man den Vektor dazu kreiiert.
Da ich das nicht kann, versuch ich es halt anders Augenzwinkern

Ich mach mal zuerst ein Dreieck...
v = AP ( P= der Anknüpfungspunkt von h)
v = (-2/-6/11)
a = Richtungsvektor von h
a = (4/-1/1)

cos(alpha) = (a * v)/(|a|*|v|)
alpha = ca. 80.376°

und jetzt setzen wir für t so ein, dass b (=Abstand zwischen A und H) möglichst klein ist...

b^2 = v^2 + (t*a)^2 - 2*v*(t*a)*cos(alpha)

(Zwischenfrage: Könnts sein, dass jetzt für t = 1 rauskommt?)

Stimmts bis hierher?

mfg
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hier war auch schon lange nichts mehr los.
Jama, stimmt meine Lösung von oben?
Ich glaube nicht Augenzwinkern

ich setz mich dann also wieder mal dran...mal schauen, wann Augenzwinkern

mfg
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

@Jama: hab mal neue infos Augenzwinkern
In der Schule kommen wir nun grad zum Thema des Schnittes zwischen Geraden und Ebenen und zwischen 2 Ebenen...
dann kann ich dir am WE hoffentlich einiges lösen Augenzwinkern

mfg

EDIT:
so, jetzt hab ich die Theorie ein wenig mehr durch.
Kann jetzt den Abstand des Punktes und der Ebene rechnen. Oben hab ich Müll gemacht...ich mach das morgen Nachmittag, da ich heute keine Zeit mehr habe...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

muss mich selbst noch einmal in die aufgabe fuchsen.. ist ja schon lange her Big Laugh
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, war dieses Wochenende leider beschäftigt Augenzwinkern
Hatte nicht soviel Zeit und meine Mathehausaufgaben hab ich auch noch nicht gemacht. Aber ich werde diese Aufgaben lösen. Irgendwann und sei es das letzte, was ich tue :P

Bis dahin, lehnt euch zurück und geniesst die Zeit die uns noch bleibt smile )

^^ lol

mfg Buschmann
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

so, jetzt ist das ausgedruckt. Dann hab ich morgen während der Mittagspause und in der Schule was zu tun Augenzwinkern
Ich werds dann auch so schnell wie möglich posten (hab morgen Abend leider fast keine Zeit und am Mittwoch auf nicht viel)

mfg
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

Frage zu c)
wie ist dieser Winkel gemeint? Die Ebene hat ja viele Winkel auf die Gerade. Aber die meisten betragen wohl 90°
Ist da der kleinere gesucht?
Das haben wir noch nicht gemacht, aber wenn ich Zeit hab, versuch ich das mal

zu b)
Rechenweg lass ich weg, ist blöd zum schreiben...
d(A, h) = 9.39
d(A, E1) = 1.52

ich hoffe, ich hab mich nirgends verrechnet...könnte aber in dem Durcheinander gut sein

d)
die Gerade:
(x/y/z) = (5/-3/0) + t * ( -1 / -1 / 1)

e)
Punkt P(2/3/-6)

ich hoffe, ich konnte einiges lösen...ohne zuviele Fehler Augenzwinkern

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steve_FL
Frage zu c)
wie ist dieser Winkel gemeint? Die Ebene hat ja viele Winkel auf die Gerade. Aber die meisten betragen wohl 90°
Ist da der kleinere gesucht?
Das haben wir noch nicht gemacht, aber wenn ich Zeit hab, versuch ich das mal

zu b)
Rechenweg lass ich weg, ist blöd zum schreiben...
d(A, h) = 9.39
d(A, E1) = 1.52

ich hoffe, ich hab mich nirgends verrechnet...könnte aber in dem Durcheinander gut sein

d)
die Gerade:
(x/y/z) = (5/-3/0) + t * ( -1 / -1 / 1)

e)
Punkt P(2/3/-6)

ich hoffe, ich konnte einiges lösen...ohne zuviele Fehler Augenzwinkern

mfg


c)
gemeint ist der kleinste winkel. ich glaube das kannste auch so Augenzwinkern

ich guck mir den rest morgen an smile bin viel zu fertig vom lagwagon konzert
jama Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal zu c) hast du schon normalen vektor gehabt? ja oder? dann könntest du das evt. packen. musst ja ein dreieck mit rechtem winkel (normalenvektor) konstruieren.

d(A, h) = 9.39 ist leider falsch. es müssten 12.5 L.E. sein.

schnittgerade haste richtig berechnet :]

e) haste dich verschrieben? müsste P(2|-6|3) sein Big Laugh
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

zu e)
stimmt...hab in meinen Unterlagen mal wieder nen Durcheinander gehabt.

Stimmt das d(A, E1) = 1.52?

Wenn ja, schau ich mal beim anderen nach.

Den Winkel bei der geraden mit der Ebene, schau ich mir mal an...Augenzwinkern

ich hatte jetzt eine Idee, wie man das machen kann...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

d(A, E1) = 1.52, yep stimmt smile :]
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dann machen wir weiter.
Ich mach mal das c)
meine Idee basiert auf folgendem Prinzip:
Ich nehme den Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Ebene und hab einen zweiten Punkt.
dann nimm ich den Punkt P der auf der Geraden liegt.
Dann muss ich an den Punkt P den Normalvektor der Ebene anhängen und eine Gerade daraus machen und mit der Ebene schneiden.
Dann hab ich den dritten Punkt und ich hab einen Winkel und drei Punkte. Dann kann ich mit Hilfe der Trigonometrie den Winkel berechnen.
Also machen wir das:

h: (x/y/z) = (4 / 6 / -3) + t*(4 / -1 / 1)
Ebene: 5x + y - 3z = -5

P = (4 / 6 / -3)
S = Schnittpunkt der Ebene mit h
S = (-2 / 8.5 / -5.5)

Gerade a:
(x/y/z) = (4 / 6 / -3) + v* (5 / 1 / -3)

X = Schnittpunkt der Geraden A mit der Ebene
v = XP = -8/7 * (5 / 1 / -3) (=Gegenkathete)

|v| = (320/7)^0.5
u = PS (=Hypothenuse)
u = (-6 / 2.5 / -8.5)
|u| = (114.5)^0.5

sin(alpha) = Gegenkathete/Hypothenuse = |v|/|u|
=> alpha ~= 39.188°

kommt das hin?

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

wunderbar gemacht!!! jetzt haste deinen mitschülern schon mal was voraus :] 8)

das ergebnis ist zwar 39,6°, aber über solche kleinigkeiten brauch man nicht mehr reden. schließlich ist das prinzip ja gold richtig Mit Zunge Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

cool
wird wahrscheinlich ein Rundungsfehler sein Augenzwinkern

mfg
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

dann muss ich nur noch den Abstand zwischen h und A und das mit der Kugel berechnen.
Kugeln haben wir noch nicht gehabt. Da kann ich nichts machen.
Aber die andere lös ich jetzt noch korrekt:

A: (2 / 0 / 8)
h: (x/y/z) = (4 / 6 / -3) + t*(4/ -1 / 1)

dann machen wir ne Ebene die Senkrecht auf die Gerade steht und durch den Punkt P geht.
4x - y + z = 4*2 - 2*0 + 1*8
4x - y + z = 16

Nun wird der Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Ebene berechnet:
4(4 + 4t) - (6 -t) + (-3 + t) = 16
16 + 16t - 6 + t - 3 + t = 16
18t = 9
t = 0.5

S: (x/y/z) = (4 / 6 / -3) + 0.5(4 / -1 / 1)
S = (6 / 5.5 / - 2.5)

AS = (6 / 5.5 / - 2.5) - (2 / 0 / 8) = (4 / 5.5 / - 10.5)

|AS| = (156.5)^0.5 = 12.51 LE

so, jetzt sollts stimmen Augenzwinkern

die Lösungswege für die anderen Aufgaben werd ich dann nach und nach auch noch posten Augenzwinkern

bei Fragen, stell ich mich gerne zur Verfügung Augenzwinkern

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt auch smile ) Buschmann
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

juhu
mit der Kugel musst du noch ne Weile warten, da ich das noch nicht kann (wie schon mal gesagt)
Vielleicht kannst du aber ein wenig Theorie posten, dann schaff ich das vielleicht Big Laugh

mfg
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