Von Parameterform zur Koordinatenform usw. ...

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Cerise Auf diesen Beitrag antworten »
Von Parameterform zur Koordinatenform usw. ...
Halli Hallo,

schreibe morgen ABI- Klausur, bin eine ziemliche Mathe- Niete und dazu ziemlich verzweifelt. unglücklich

Es gibt ja bei Ebenendarstellungen 3 Formen: Parameterform, Koordinatenform und Normalenform.

Wie man von der Koordinatenform zur Parameterform kommt weiß ich...aber nicht, wie ich von der Parameterform zur Koordinatenform kommen kann.

Und dann hätte ich noch eine Frage: Die Normalenform ist ja

Normalenvektor * Orts-/Stützvektor der Ebene, oder?

Danke für eure Hilfe! smile
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hallo Cerise!

Para->Koordinatenform:

Du kannst einen Vektor bilden, der zu beiden Spannvektoren der Ebene orthogonal ist.
Dieser Vektor lautet dann:


dann ist die Koordinatengleichung:


Jetzt setze den Aufpunkt der Ebene in diese Formel ein und erhalte b!!

Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, willst du die auch wissen?


Die Normelform sieht so aus:



p ist ein Punkt auf der Ebene, n der orthogonale Vektor zur Ebene!

gruß,
aRo
 
 
Fassregel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Von Parameterform zur Koordinatenform usw. ...
Du willst also von der Parameterform zur Koordinatenform...da gibt es mehrere Wege, der schnellste geht sicher mit dem Kreuzprodukt:

Du hast die Richtungsvektoren und einer Ebene.
Dann gilt für den Normalenvektor der Ebene:

=

Was bedeutet das jetzt?
Du schreibst auf der linken Seite den einen Richtungsvektor zweimal untereinander hin, auf der anderen Seite den anderen Richtungsvektor zweimal untereinander. Dann streichst du die erste und die letzte Zeile aus, und machst es wie im folgenden Beispiel:

= und =.

Untereinander schreiben:

2 3
1 0
2 8
2 3
1 0
2 8

(denk dir die erste und letzte Zeile als ausgestrichen)

jetzt gehst du immer kreuzweise vor:

=

damit ergibt sich als Normalenvektor im Beispiel:


[/latex]=

Hoffe, die Erklärung ist verständlich.

Dann ist es einfach: Nur noch n1, n2 und n3 als a, b, und c in die Koordinategleichung einsetzen, und mit dem Stüzvektor d ausrechnen.

edit: Latex
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
Re:antwort
@ Cerise:





das kann man umformen zu:




so, jetzt löst du von diesen gleichungen eine nach Lambda und eine nach Gamma auf und ersetzt dann die Werte für Lambda und Gamma in die 3.Gleichung und fertig ist deine Koordinatenform!!
chrisb87 Auf diesen Beitrag antworten »

@ brunsi

schreib jetzt in 1 Monat Abi und bin gerade auch bei der kleinen Problematik der Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform! Dein Beispiel mit deiner Lösung find ich ganz anschaulich, zu mal ich es so auch gemacht hätte...nur versteh ich nicht ganz, wie du das mit dem auflösen nach Lamda und Gamma meinst, da doch immer beide unbekannt sind?!? und x1,x2 und x3 sind doch auch unbekannt?? da steig ich nich durch! Kannst du das vielleicht noch weiter ausführen?

Gruß Chris
Gast-Gini Auf diesen Beitrag antworten »




Einfach mit dem Gauss - Verfahren auflösen, also in den beiden unteren gleichungen lambda und gamma verschwinden lassen.

Dann bekommst du unten die Koordinatengleichung raus, in diesem Fall wäre es:

7x1 - 5x2 + 6x3 = 11

Gruß Gini
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re:antwort
Zitat:
Original von brunsi
das kann man umformen zu:



so, jetzt löst du von diesen gleichungen eine nach Lambda und eine nach Gamma auf und ersetzt dann die Werte für Lambda und Gamma in die 3.Gleichung und fertig ist deine Koordinatenform!!

Einfacher ist folgende Methode: man nehme einen Vektor, der auf und senkrecht seht und multipliziere damit skalar die Gleichung der Koordinatenform. Den senkrechten Vektor erhalten wir über das Vektorkreuzprodukt:







Dividieren durch -3:



Das ist dann auch das richtige Ergebnis. Offensichtlich hat brunsi die Gleichung für x_2 falsch geschrieben und Gast-Gini hat den Fehler übernommen. Augenzwinkern
Lullu Auf diesen Beitrag antworten »
PA in KO Form
Hey ihr Lieben ...
wie man normalerweise von einer Parameterdarstellung auf eine koordinatenform kommt habe ich soweit (was das nach x1,x2,x3 aulösen, lambda und mü elemenieren und in eine Gleichung einsetzen), verstanden. Nun habe ich bei dieser Gleichung allerdings das problem, dass ich in der ersten Gleichung nur müü, in der zweiten lambda und mü und in der dritten Gleichung nur mü habe. Egal wie herum ich reche, ich kriege einfach keine zwei Gleichungen mit jeweils mü unjd lambda heraus, die ich dann in die dritte Gleichung einsetzen kann (versteht ihr, was ich meine? Augenzwinkern )

Die Parameterform lautet:

-1,5 0 -4
x= 1,5 + lambda 4 + müü -0,5
3 0 3


Und noch eine Frage: Wie zeigt man, dass die Ebene E (E: 6x1 + 8x3- 15 =o) die Pyramidenkante DS in G (-1,5/-1,5/3) schneidet?

Angegebene Punkte: A (2,5/-2/0), B (2,5/2/0), C ( -2/2/0), D (-2/-3/o) und S (0/0/12) ?

Vielen Dank schonmal im Vorraus
Liebe Grüße
Lisa smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: PA in KO Form
Zitat:
Original von Lullu
-1,5 0 -4
x= 1,5 + lambda 4 + müü -0,5
3 0 3

Also Latex solltest du dir schon angewöhnen, zumal in den Beiträgen davor genug Beispiele zu finden sind. Ich vermute mal, daß dies gemeint ist:



Was die Überführung in die Koordinatengleichung angeht, kannst du entweder mit dem Kreuzprodukt arbeiten oder du löst die erste Gleichung nach mü auf und setzt das in die dritte Gleichung ein. Fertig.
question Auf diesen Beitrag antworten »
von Ebene zur Geraden.
hallo ihr lieben.. ich habe ein problem, wie man von einer ebene zurueck zur geraden kommt. also die aufgabe lautet so:

Von einer Geraden sind die Glechungen zweier projizierender Ebenen, die durch sie gehen, gegeben.
Ebene1: 5x+6y-30=o und Ebene2: 4y+3z-12+0
Frage:
Wie lautet eine Parameterdarstellung der Geraden?
Man muss ja jetzt von 2 Ebenengleichungen zurueck zu der Parameterdarstellung der Geraden kommen.. und ich habe keine Ahung, wie ich das machen soll.
Kann mir da bitte wer helfen?
Danke schon mal im vorraus.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: von Ebene zur Geraden.
Zitat:
Original von question
hallo ihr lieben.. ich habe ein problem, wie man von einer ebene zurueck zur geraden kommt. also die aufgabe lautet so:

Von einer Geraden sind die Glechungen zweier projizierender Ebenen, die durch sie gehen, gegeben.
Ebene1: 5x+6y-30=o und Ebene2: 4y+3z-12+0
Frage:
Wie lautet eine Parameterdarstellung der Geraden?
Man muss ja jetzt von 2 Ebenengleichungen zurueck zu der Parameterdarstellung der Geraden kommen.. und ich habe keine Ahung, wie ich das machen soll.
Kann mir da bitte wer helfen?
Danke schon mal im vorraus.


wieso muß man dass müssen verwirrt

setze (z.b)
berechne x und z aus den beiden ebenen gleichungen und fasse alles zusammen,
schon bist du fertig smile
question Auf diesen Beitrag antworten »

he? das hoert sich irgendwie zu leicht an..
und doch check ich nicht ganz was du meinst ;/
also wenn ich das mache, was du gesagt hast, dann erhalte ich glaube
x=18t + 6 und
z=20t + 4

ist dann der stuetzvektor 6/4 (untereinander als Vektor geschrieben) und der Richtungsvektor 18/20 (untereinander als Vektor geschrieben)

aber was habe ich fuer y? oder ebend nichts, weil es sich um eine Gerade im zwei Dimensionalem Raum handelt?

DU hast ja jetzt vorgeschalgen, dass ich y=-15t setzte.. haette ich auch willkuerlich z.B. x=6t setzen koennen?

Sorry, du musste echt denken ich bin ein bisschen schwer von begriff ;/ baucht bei mir halt wen wie dich um mir so was zu erlauchten..
aber DANKE echt..
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von question
he? das hoert sich irgendwie zu leicht an..
und doch check ich nicht ganz was du meinst ;/
also wenn ich das mache, was du gesagt hast, dann erhalte ich glaube
x=18t + 6 und
z=20t + 4

ist dann der stuetzvektor 6/4 (untereinander als Vektor geschrieben) und der Richtungsvektor 18/20 (untereinander als Vektor geschrieben)

aber was habe ich fuer y? oder ebend nichts, weil es sich um eine Gerade im zwei Dimensionalem Raum handelt?

DU hast ja jetzt vorgeschalgen, dass ich y=-15t setzte.. haette ich auch willkuerlich z.B. x=6t setzen koennen?

Sorry, du musste echt denken ich bin ein bisschen schwer von begriff ;/ baucht bei mir halt wen wie dich um mir so was zu erlauchten..
aber DANKE echt..


man merkt es smile

warum scheint es dir zu leicht, wenn ...

zusammenfassen heißt, ALLE komponenten zusammenfassen.- warum magst du die y-komponente nicht verwirrt .

wenn du dann auch noch richtig rechnest, sollte sich ergeben:








und daher



ja, darum steht ja dort z.b. = zum beispiel

es muß sich halt immer derselbe richtungsvektor bzw. ein vielfaches davon ergeben,
der aufpunkt kann verschieden sein (eine gerade besteht ja bekanntlich aus mehreren punkten)

zur probe kannst du ja die geradengleichung in die ebenengleichungen einsetzen
und schauen, ob 0 = 0 herauskammt.

ok verwirrt
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