Aus Lipschitz-stetig folgt gleichmäßig stetig?

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26.04.2005, 17:55	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Lipschitz-stetig folgt gleichmäßig stetig? Hallo, ich hab ein Problem bei dem Beweis, dass aus Lipschitz-stetigkeit die gleichmäßige Stetigkeit folgt...kann mir bitte jemand helfen? Ich steck schon am Anfang völlig fest... Vielen Dank schonmal für alle Antworten!
26.04.2005, 19:44	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aus Lipschitz-stetig folgt gleichmäßig stetig? Hallo Knuff, vielleicht könntest du ein wenig ausführlicher fragen, was für einen Schritt genau du nicht verstehst? Gruß vom Ben
26.04.2005, 21:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib dir mal genau und ordentlich auf, was die beiden Dinge bedeuten bzw. wie sie definiert sind. Und dann einen kleinen, sehr einfachen Trick aus der "Epsilontik" anwenden.
26.04.2005, 22:28	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir die beiden Definitionen schon vor Augen gelegt, aber irgendwie seh ich den Zusammenhang wohl nicht... Die Fragenstellung lautet: Zeigen sie: Ist I enthalten in R ein Intervall und f: I --> R Lipschitz-stetig, so ist f auch gleichmäßig stetig. Vielen Dank für die schnellen Antworten, ich werd's mir nochmal anschauen, aber für weitere Tipps wär ich trotzdem dankbar!
26.04.2005, 22:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann schreib doch erstmal hier rein, was die beiden Begriffe bedeuten!
28.04.2005, 12:23	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mir gestern den Kopf zermartert und es is nix dabei rausgekommen, und heut morgen im halbschlaf beim Aufstehn, is mir dann eine Lösungsidee gekommen! g Da sieht man mal wieder, wenn die Lösung so nah ist, sieht man sie nicht, wenn man sie vor Augen hat! Danke nochmal für die Antworten!
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28.04.2005, 13:26	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte nochmal ne Frage, die aber einfach nur mit "ja" oder "nein" zu beantworten ist, weil ich mir nur nich so sicher bin! Ist $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig aber nicht liebschitz-stetig?
28.04.2005, 14:19	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
28.04.2005, 16:30	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ok... jetzt hab ich doch noch ne frage: wie zeige ich, dass das im Intervall [0,1] so ist??
28.04.2005, 17:46	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
der "kritische Punkt" ist bei x=0.Wäre die Funktion f Lipschitz stetig,dann gäbe es ein L,sodass $\begin{eqnarray} \|\sqrt{y}- \sqrt{0}\| \leq L\|y\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{y}\leq Ly \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\leq L \sqrt{y} \end{eqnarray}$ folgen würde.Da y aber gegen 0 geht,kann es kein L geben.
28.04.2005, 18:21	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh den einen Schritt nicht: wie kommst du von $\begin{eqnarray} \mid \sqrt{y} - \sqrt{0} \mid \leq L\mid \sqrt{y}\mid \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mid \sqrt{y} \mid \leq Ly \end{eqnarray}$ ??? wo kommt denn das y plötzlich her?
28.04.2005, 18:28	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
na,die Definition der Lipschitz Stetigkeit.Denke daran,dass es sich hier um ein bestimmtes Intervall handelt.Du musst also irgendwann mal die Werte einsetzen.
28.04.2005, 22:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
n! hjat sich verschrieben. Die erste Ungleichung hätte so lauten müssen: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{y} - \sqrt{0}\|\leq L\|y\| \end{eqnarray}$
29.04.2005, 09:09	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso...hab mich schon gefragt, wo die Wurzel geblieben ist! Is ja auch viel logischer jetzt! Danke sehr!
29.04.2005, 15:28	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
ja,sorry für den Schreibfehler.MSS hat natürlich recht. habe es mal editiert
23.06.2005, 18:05	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja...ich häng mal wieder an der blöden Libschitz-Stetigkeit! Ich soll zeigen, dass die Norm-Funktion auf einem Normierten Raum Libschitzstetig ist und zwar mit der Libschitz-Konstanten 1. Wie soll ich das denn zeigen, wenn ich nicht mehr Informationen über die Funktion hab?
23.06.2005, 18:40	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
normen im endlich dimensionalen Raum sind ja äquivalent zueinander, d.h. also du kannst mittels konstanten eine Norm in die andere überführen. Eine dieser Konstanten ist 1, dein Lipschitzfaktor. ich weiß nun nicht wie deine Normfunktion lautet, aber wenn nichts weiter angegeben ist, würde ich von der normfunktion $\begin{eqnarray} f(x) = \|\|x\|\| \end{eqnarray}$ ausgehen.
23.06.2005, 19:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist im Grunde genommen nichts zu beweisen, denn wenn man alle Definitionen richtig anwendet, muss nur "bewiesen" werden, dass es ein $\begin{eqnarray} L>0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} \\|x-y\\| \leq L\cdot \\|x-y\\| \end{eqnarray}$ für alle Vektoren x,y des Raumes gilt. Und dass man dieses $\begin{eqnarray} L=1 \end{eqnarray}$ wählen kann. Sauschwer, nicht wahr? EDIT: Da hab ich mich geirrt, es ist doch "etwas" schwerer - siehe unten.
23.06.2005, 20:38	Der_Knuff	Auf diesen Beitrag antworten »
@ oldwise: Hau mich, wenn ich das jetzt völlig falsch verstanden hab, aber ich will keine Norm in eine andere überführen, ich will zeigen, dass die Funktion von f: \|\| \|\| --> \|R libschitz-stetig ist. Und brauch ich bei \|\| x+y \|\| < L\|\| x+y\|\| nicht auch noch die Betragstriche? Oder kann man die bei der Norm mit gutem Gewissen einfach weglassen?
23.06.2005, 20:44	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
die "betragsstriche" stehen für die norm! außerdem meinte ich nicht, dass du die eine in eine andere überführen sollst. aber ich glaube arthurs weg ist der beste/einfachste. denn ich glaube da brauchst du nur die dreiecksungleichung zu zeigen.
23.06.2005, 20:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung - da hatte ich gestern wohl Tomaten auf den Augen! Ja richtig, es ist $\begin{eqnarray} \bigg\| \\|x\\| -\\|y\\| \bigg\| \leq L\cdot \\|x-y\\| \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} L=1 \end{eqnarray}$ nachzuweisen, und das kann man aus zweimaliger Anwendung der Dreiecksungleichung folgern: $\begin{eqnarray} \\|x\\| &=& \\|(x-y)+y\\|\leq \\|x-y\\|+\\|y\\| \\ \\|y\\| &=& \\|(y-x)+x\\|\leq \\|x-y\\|+\\|x\\| \end{eqnarray}$

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