Nilpotente Matrizen

26.04.2005, 20:44

Snooper

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Nilpotente Matrizen

Sei $\begin{eqnarray*} N \in M_n(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_{ij} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\leq i \end{eqnarray*}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray*} N^2 := N \cdot N \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} (N^2)_{ij} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\leq i + 1 \end{eqnarray*}$ .

26.04.2005, 23:24

Tobias

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Wenn du solche Aufgaben postest solltest du

1.) ALLE Notationen angeben. Kein Mensch weiß, wie ihr $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ definiert habt.

2.) Sagen, wo du hängst. Die Hausaufgaben macht dir hier keiner.

27.04.2005, 00:04

Ben Sisko

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Ich tipp mal auf die n x n-Matrizen mit reellen Einträgen.

Beim zweiten Punkt muss ich Tobias aber zustimmen.

Gruß vom Ben

27.04.2005, 09:46

AD

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Nilpotente Matrizen
Folgende Änderung der Threadüberschrift wäre angebracht:

Nilpotente Matrizen

27.04.2005, 12:21

Ben Sisko

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RE: Nilpotente Matrizen
Zu Befehl Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2005, 12:29

AD

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RE: Nilpotente Matrizen

Zitat:

Original von Ben Sisko
Zu Befehl Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Ton passt gut zu deiner Uniform. Rühren, Captain. smile

smile

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27.04.2005, 18:12

Snooper

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RE: Nilpotente Matrizen
ich weiss dass es hier eine obere dreiecksmatrix ist....und laut der aufageb muss ich ich ja eine obere dreiecksmatrix mal ne obere dreiecksmatrix zeigen...für nxn matrizen..nur da j´hakt e sbei mir

27.04.2005, 19:04

JochenX

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wenn du mir pns schickst, dann stelle bitte in den einstellungen ein, dass ich dir auch antworten kann!

hier meine geplante antwort:

Zitat:

wie die anderen schon sagen: ich kann mit deiner schreibweise auch nicht viel anfangen!

erklär das ein wenig genauer und zeige, dass du dir selbst schon gedanken gemacht hast, dann wird dir auch geholfen!
ich bin tatsächlich nicht der einzige helfer im bord!

mfg jochen

27.04.2005, 19:09

Snooper

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ich habe mir doch gedanken darüber gemacht...hatte im vorigen mail eine frage gestellt...wie ich mir das vorstelle

27.04.2005, 19:34

Egal

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Erste Überlegung sollte sein wie lassen sich die Elemente von $\begin{eqnarray*} N^2 \end{eqnarray*}$ als Summen und Produkte von Elementen von N schreiben. Da gehört das Stichwort Matrix Multiplikation zu. Da gibt es eine Regel die für nxn Matrizen besonders einfach ausschaut zumal wenn die Matrizen gleich sind. Nun musst du nur noch zeigen das die Elemente die du als Null zeigen musst auch nur eine Summe von Nullen ist. Das sollte ja nicht allzu schwer sein.

27.04.2005, 19:41

Snooper

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also wie soll ich dass machen einfach eine nxn matrix als ne obere dreiecksmatrix schreibebn und das hoch zwei nehmen??

ZItat"Elemente die du als Null zeigen musst auch nur eine Summe von Nullen ist" verstehe ich nicht ganz??

27.04.2005, 20:10

Egal

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Du hast doch schon erkannt das es eine obere Dreiecksmatrix ist. Die Einträge sind 0 für $\begin{eqnarray*} j \leq i \end{eqnarray*}$ sonst halt nicht 0 und wenn in deiner Summe nur Produkte von Matrixeinträgen sind bei denen mindestens einer Null ist ist die ganze Summe 0.

27.04.2005, 20:12

Snooper

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ja klar das sehe doch an der beschreibung nur ich weiss nicht wie ich es beweise??also wenn das endliche matrizen wären mit zahlen dann ist das ja super leicht nur so nxn matrix sehr komplizeirt

27.04.2005, 20:18

Egal

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Das Produkt von 2 nxn Matrizen $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}),B=(b_{ij}) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} AB=(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}) \end{eqnarray*}$
Jetzt noch die richtigen Matrizen einsetzen und argumentieren wann da was null wird.
*ist fest überzeugt jetzt kann nichts mehr schiefgehen*

28.04.2005, 15:10

Snooper

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a_2 & a_n \\ 0 & 0 & b_n \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a_2 & a_n \\ 0 & 0 & b_n \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =

ist das so ungefähr richtig???der ansatz

da kommt aber keine nullmatrix rauss.....

28.04.2005, 15:18

AD

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Für n=3 ist das schon richtig - vielleicht hilft dir das auch, das Beweisprinzip für allgemeine n zu erkennen.

Für diese allgemeinen n solltest du den Beweis dann aber doch geeignet aufschreiben.

28.04.2005, 22:42

Snooper

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a_2 &... & a_n \\ ..&...\\ .. & ..\\ ..&.\\..&.\\0 & 0 & 0 & 0...b_n \\ 0 & 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich würde es dir ja gerne hier hin schreiben nur habe immer probleme mit dem formel editor....hoffe du erkennst da was:..denn mit den punkten habe ich nich so richtig hinbekommen..wollte hat nxn matrix zeigen...das muss ich dann hoch 2 nehmen ne

soll ne obere dreiecksmatrix darstellen smile

smile

30.04.2005, 07:13

Egal

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Also Vielleicht mal ein Beispiel das man überblicken kann:
$\begin{eqnarray*} N=\begin{pmatrix}0&a_{12}&a_{13}\\0&0& a_{23}\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt berechnen wir $\begin{eqnarray*} N^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N^2&=\begin{pmatrix}0&a_{12}&a_{13}\\0&0& a_{23}\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&a_{12}&a_{13}\\0&0& a_{23}\\0&0&0\end{pmatrix}\\&=(\sum_{j=1}^n n_{ij}n_{jk})\\&=\begin{pmatrix}0&0&a_{12}\cdot a_{23}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hier kann man jetzt direkt sehen was du nachher zeigen musst allerdings ist ein Beispiel natürlich kein Beweis. Also schauen wir uns nochmal die Summe an. Da steht das Produkt:
$\begin{eqnarray*} n_{ij}n_{jk} \end{eqnarray*}$ Nach Vorraussetzung ist $\begin{eqnarray*} n_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ für j<i und damit auch alle Produkte die du hier damit erzeugen kannst. Um das vollständig zu verstehen ist es vielleicht sinnvoll sich die Matrixmultiplikation nochmal vor augen zu führen. Jetzt bleibt die Frage was ist für $\begin{eqnarray*} j\geq i \end{eqnarray*}$ und da kommt es dann auf das k an gilt nämlich dann k<j so ist wieder nach Vorraussetzung das $\begin{eqnarray*} n_{jk}=0 \end{eqnarray*}$ Das Produkt über die Summen ist also Null solange du die Bedingung j<i oder j>k erfüllen kannst.
Ich dene damit hast du erstmal ein bisschen Stoff um drüber nachzudenken wie man den Beweis zuende führt. Vorsichtig die Matrix die bei meiner Summe rauskommt hat mit i und k indizierte Elemente.

30.04.2005, 11:02

Snooper

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ich verstehe die matrixmultiplikation sehr gut..weiss auch wie du auf das ergebnis kommst..nur jetzt weiss ich nicht warum das nicht reicht um ein ebeweis zu zeigen was fehtl denn noch???

etwa das????

Beweis:

A und B obere Dreiecksmatrizen

=>A(i,j)=0 für i>j
=>B(j,k)=0 für j>k

Es sei i>k
=>AB(i,k)= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n \end{eqnarray*}$ A(i,j) B(j,k)
= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{i-1} \end{eqnarray*}$ A (i,j) B(j,k)+ $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n \end{eqnarray*}$ A(i,j) B(j,k)= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n \end{eqnarray*}$ A(i,j) B(j,k)

B(j,k)=0 für j>i

=>B(j,k)=0 für j $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k
i>k

30.04.2005, 22:25

glocke

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hi snooper. höre die gleiche veranstaltung wie du (la1 bei fritsche). LÖL !!! was ein zufall...vielleicht wohnen wir noch tür an tür oder so...

PART A:

also wenn

n²(i,j)= $\begin{eqnarray*} \sum_{r=1}^n~n(i,r)*n(r,j) \end{eqnarray*}$

ist, dann ist
n(i,r)=0 für alle i $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ r
und
n(r,j)=0 für alle r $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ j

demnach ist

n²(i,j)=0

wenn die bedinung

i $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ r $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ j erfüllt ist. oder anders:

n²(i,j)=0 wenn i $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ j (=diagonale und alles darunter = 0)

PART B:

betrachten wir nun den eintrag n²(i,i+1) gesondert:

n²(i,i+1)= $\begin{eqnarray*} \sum_{r=1}^n~n(i,r)*n(r,i+1) \end{eqnarray*}$

es gilt:
n(i,r)=0 für alle i $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ r
und
n(r,i+1)=0 für alle r $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ i+1
das bedeutet:
für alle r $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ i ist der erste Faktor = 0 ("n(i,r) = 0")
ab r $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ i+1 ist der zweite Faktor = 0 ("n(r,i+1) = 0")
somit sind alle Summanden von
$\begin{eqnarray*} \sum_{r=1}^n~n(i,r)*n(r,i+1) \end{eqnarray*}$ = 0
und N² hat an der Stelle n²(i,i+1) den Eintrag "0".

aus PART A und PART B folgt, daß n²(i,j) = 0 für alle j $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ i+1 0 ist.

so...ich denke, daß das diesmal funktioniert, wäre allerdings dankbar für vorschläge bezüglich verbesserung der formulierung.

30.04.2005, 22:50

Snooper

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stimmt

smile

dann sitzen wir immer in der gleichen vorlesung smile

smile

hallo glocke smile

smile

))also ist das die lösüng ??war meine denn falsch?

30.04.2005, 22:52

glocke

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montag und donnerstag von 10 - 12 Willkommen

Willkommen

ob deine so falsch war, weiß ich nicht genau, aber die bedinungen waren ungenau (> anstelle >=, die diagonale ist schließlich auch null) und die addition der summen war auch ein wenig suspekt...
aber:
viele wege führen nach rom, wol ?

30.04.2005, 22:54

Snooper

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stimmt...habe bei fritsche...sag mal was du geschickt hast war das die lösüng??

30.04.2005, 23:01

glocke

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hab mein blatt noch nicht wieder, ist irgendwo verschüttgegangen.
ich nehme an, das da oben ist die lösung. man sollte zeigen das N²(i.j) bei j<=i+1 nullen in der matrix hat. das habe ich getan.

was sagen die anderen ?

30.04.2005, 23:02

Snooper

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also es tut mir leid..aber was du mir jetzt geschrieben hast betreff der aufgabe..also dein lösüngsweg ist das alles kann ich das somit zeigen??

hätte nicht gedacht dass ich jemenden aus meiner vorlesung treffe smile

smile

ah ja stimmt jetzt warten wir mal was die andern helfer dazu sagen???wir bieten sie stimmen zu oder nicht smile

smile

in welcher Ü-Gruppe bist du?

30.04.2005, 23:11

glocke

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komm in den chat

30.04.2005, 23:18

Snooper

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hallo glocke bei mir funktioniert der chat nicht unglücklich

unglücklich

30.04.2005, 23:20

glocke

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ups...muß meine lösung leider zurückziehen. hab da zwei sachen durcheinander gekegelt...

doch nicht.

!!! EDIT OBEN ANSCHAUEN !!!

30.04.2005, 23:25

Snooper

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oh stimmt...nach dem formatieren habe ich vergessen es wieder zu laden ichkomme

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