goniometr. Gleich. 2

26.12.2007, 12:15

tim taler

goniometr. Gleich. 2

Hallo zusammen,
habe mir nun diese Aufgabe gewählt nachdem ich mir das Ganze nochmal angeschaut habe. Hier muss ich nun auch mit Hilfe der Additiontheoreme rechnen, das Problem liegt allerdings in der Darstellung der Lösungsmenge.

Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2(sinx-cos^3x)=sinx sin2x \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2(sinx-cos^3x)=sinx * sin2x \to| sin2x= 2*sinx*cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2(sinx-cos^3x)=sinx * 2*sinx*cosx \to|:2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sinx-cos^3x=sin^2x*cosx \to |sin^2x=1-cos^2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sinx-cos^3x=1-cos^3x\to|+cos^3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sinx=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=arcsin (1) \Rightarrow 90° \end{eqnarray*}$

Die vorgegebene Lösungsmenge lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} L=[x|x=\frac{\pi}{4} +k\pi ,k=0,\pm1,\pm2,...] \end{eqnarray*}$

Ist die Rechnung soweit richtig?
Und wie komme ich dann zur Lösungsmenge?

Gruss, tt

26.12.2007, 12:22

tmo

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$\begin{eqnarray*} (1-cos^2(x)) \cdot cos(x) \neq 1- cos^3(x) \end{eqnarray*}$

sosnt alles richtig.

26.12.2007, 12:41

riwe

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die lösungsmenge schaut ganz gut aus,
überprüfe also deine rechnung verwirrt

26.12.2007, 12:56

tim taler

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da haste sicher Recht smile

es muss also heißen:

$\begin{eqnarray*} sinx-cos^3x=(1-cos^2x)*cosx\Rightarrow sinx-cos^3x=cosx-cos^3x\to|+cos^3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sinx=cosx\to|sinx=cos(\frac{\pi}{2}-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow cos(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\to|: cos \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} -x\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Ok somit x=pi/4. Die Lösungsmenge hat nun irgendwas mit der Kosinusfkt. zu tun wie es aussieht, ist mir aber noch nicht ganz klar.

26.12.2007, 12:58

tmo

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$\begin{eqnarray*} \sin x =\cos x \Longleftrightarrow \tan x = 1 \end{eqnarray*}$

eine lösung kennst du (die hast du ja schon berechnet) und die tangensfunktion hat bekanntlich eine periode von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

26.12.2007, 14:27

20_Cent

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Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow cos(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\to|: cos \end{eqnarray*}$

Das hier würde ich unter keine Umständen so schreiben, du dividierst ja nicht durch cos!
Du wendest auf beiden Seiten den arccos an.
mfG 20

28.12.2007, 12:49

tim taler

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Alles klar Freude

, vielen Dank euch beiden !

Gruss, tt

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