Grenzwert bei e-Funktion

26.12.2007, 12:51	TS4488	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bei e-Funktion Hallo und erstmal Frohe Weihnachten! Ich sitze an folgender Aufgabe mit einer e-Funktion, wobei ich den Grenzwert angeben soll. Genaue Aufgabenstellung: "An welchen Stellen ist die Funktion stetig bzw. unstetig? Besimme an den Unstetigkeitsstellen den rechts- und linksseitigen Grenzwert (wenn er existiert)." $\begin{eqnarray} f(x):=\{ \frac{e^{-\frac{x} {x+2} }fuer x \neq -2}{0 fuer x=-2} \} \end{eqnarray}$ Folgende Überlegung habe ich: 1.) die Funktion ist unstetig an der Stelle x=(-2), da die sie für diesen Wert nicht definiert ist. 2.) die e-Funktion liefert für alle e aus R einen Wertebereich zwischen 0 und unendlich. 3.) ich untersuche, wie sich die Funktion für Werte um (-2) verhält. Nur wie bestimme ich den Grenzwert bei dieser e-Funktion? Muss lich mit dem ln arbeiten? Ableiten bringt ja nichts..
26.12.2007, 12:56	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
"1.) die Funktion ist unstetig an der Stelle x=(-2), da die sie für diesen Wert nicht definiert ist." Du hast doch selbst geschrieben das an der Stelle x=-2 der Wert 0 ist, also definiert! Unstetig ist sie trotzdem an der Stelle Was passiert den wenn du von oben bzw. unten an die -2 ranläufst?
26.12.2007, 13:05	TS4488	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, war falsch formuliert... Aber unstetig ist sie immerhin. Links von x=(-2) geht die Funktion gegen 0, rechts davon gegen unendlich. Vielleicht eine Grafik: Man sieht: links von (-2) nähert sich der Graph der x-Achse, rechts davon kommt er aus dem Unendlichen. Ich weiß ja eigentlich, was zu tun ist, aber nur wie: Einen Wert "ganz nah links" von x=(-2), und einmal "ganz nah rechts" davon..
26.12.2007, 13:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok schauen wir uns mal $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \searrow -2} \quad e^{-\frac{x}{x+2}} \end{eqnarray}$ an. Im Zähler ist es negativ, im Nenner geht es, da von oben kommend gegen "+0". Also geht der Bruch gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ und alles insgesamt gegen " $\begin{eqnarray} e^\infty = \infty \end{eqnarray}$ "
26.12.2007, 13:21	TS4488	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste e^(-\infty) nicht gegen 0, und e^\infty gegen \infty gehen?
26.12.2007, 13:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, korrekt
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26.12.2007, 13:55	TS4488	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich das so schreiben? http://asgsg2007.de/a38.jpg
26.12.2007, 14:00	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Umweg über das a ist im Prinzip unnötig aber sonst sieht es richtig aus.
26.12.2007, 14:15	TS4488	Auf diesen Beitrag antworten »
In der nächsten Aufgabe gibt es eine kleine Abwandlung, jetzt wird der Exponent quadriert: $\begin{eqnarray} f(x):=\{ \frac{e^{-\frac{x} {x+2} }² fuer x \neq -2}{0 fuer x=-2} \} \end{eqnarray}$ Demnach müsste ja gelten: http://asgsg2007.de/38_2.jpg Daraus folgt: Der links- und rechtsseitige Grenzwert stimmen überein und sind mit dem Funktionswert für x=(-2) identisch. Daher ist die Funktion an der Stelle x=(-2) stetig un hat keine Unstetigkeitsstellen.
26.12.2007, 14:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das die Funktion bei x=-2 stetig ist stimmt dann, das sie an den restlichen Funktionswerten stetig ist musst du natürlich auch noch begründen

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