Vektoren

26.12.2007, 22:05	nixverstehikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren Folgende Punkte sind gegeben A(2/-2/0), B(0/4/0), C(0/1/3) und D(2/-5/3). Diese Punkte bilden ein Parallelogramm. und nun die Aufgabe die ich nicht lösen kann: Der Punkt F liegt auf der Geraden durch A und B. Bestimmen Sie F so, dass CF und AB orthogonal sind. Ich gehe folgendermaßen vor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das ist die Steigung der Geraden AB. Es wird gekürzt auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es kommt zu der Geraden die die Strecke zwischen A und B darstellt. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} +k\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Aus dem nächsten Schritt folgt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2-k \\ -2+3k \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das wird gleich null gesetzt weil orthogonal. Ergebnis für $\begin{eqnarray} k= \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ Wenn ich k in die errechnete Geradengleichung einsetze komme ich zu einem falschen Punkt. Was mache ich falsch? P.S. Frohe Weihnachten
26.12.2007, 22:27	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren ich weiß nicht , was du da genau rechnest. ich male es mal hin, und wenn du dir eine skizze machst, ist es eh klar, sonst nachfragen $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AB}²}\cdot\overrightarrow{AB} \end{eqnarray}$ auf deutsch, entferne dich auf der geraden g durch A und B um die länge der projektion von AD auf g von B und du bist bei F. $\begin{eqnarray} F(\frac{9}{10}/\frac{13}{10}/0) \end{eqnarray}$
26.12.2007, 22:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das skalare Produkt zweier Vektoren Null setzen ist nur dann sinnvoll, wenn sie normal aufeinander sind. Deine beiden Vektoren in der letzten Zeile hingegen sind dies im Allgemeinen nicht. Tipp: Eine einfache geometrische Überlegung (in R3) führt zum Ziel. mY+
26.12.2007, 22:53	nixverstehikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antworten. Das Ergebnis für Punkt F ist richtig. verstehe nur noch nicht wieso die Formel funktioniert. zu mythos: wir suchen doch die normale von AB auf C ich versteh das nicht ganz. Vektoren sind komplett neuland für mich.
26.12.2007, 23:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
werner hat (zugegebenermaßen listig wie immer) die Eigenschaft des Parallelogrammes ausgenutzt und verwendet, dass das skalare Produkt zweier Vektoren gleich ist der Länge des einen Vektors mal der Projektion des anderen Vektors auf diesen. Ich meinte allerdings einen anderen Weg: Lege durch C eine zur Geraden g senkrechte Ebene und schneide diese mit g, das ergibt F. Die Ebene hat den Richtungsvektor von g als Normalvektor, daher lautet sie $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ rechts ausmultiplizieren, statt $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ dann den allg. Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ der Geradengleichung einsetzen, -> k Deine Geradengleichung ist unvollständig, da keine Gleichung! Richtig ist $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mY+
27.12.2007, 00:12	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso die formel funktioniert ich vermute, weil sie korrekt ist wie gesagt, wenn du ein bilderl maltest, sähest du es, bzw. könntest du es sehen wie mythos schon ausgeführt hat, geht es um die projektion von $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray}$ . du hast $\begin{eqnarray} \mid\overrightarrow{BF}\mid=\mid\overrightarrow{BC}\mid cos\alpha=\mid\overrightarrow{AD}\mid cos\alpha \end{eqnarray}$ mit dem skalarprodukt gilt $\begin{eqnarray} cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{\mid\overrightarrow{AB}\mid\mid\overrightarrow{AD}\mid} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BF}=\mid\overrightarrow{BF}\mid\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\mid\overrightarrow{AB}\mid} \end{eqnarray}$ womit du bei der "formel" angelangt bist und dazu das obligate bilderl
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27.12.2007, 00:38	nixverstehikus	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank für eure Mühe zur solch später stund
29.12.2007, 17:15	suziheizer32	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo habs nochmal visualisiert.

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