Stokes - Rand einer Menge

27.12.2007, 08:46	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Stokes - Rand einer Menge Hallo, da ich in den letzten zwei Wochen nicht in der Uni war, habe ich leider die Einführung des Satzes von Stokes verpasst. Beim Durcharbeiten des Skriptes und der Übungsaufgaben bin ich vor allem auf ein Problem bei mir gestoßen … und zwar, dass ich nicht so ganz klar komme mit der Bestimmung des Randes einer Untermannigfaltigkeit. So habe ich zum Beispiel folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} G = \left\{ (x,y,z) \in R^3 \mid x=\cos t , y=\sin t , z=\cos t , 0\leq t \leq 2\pi \right\} \end{eqnarray}$ . Berechne $\begin{eqnarray} \int_{G}~yz^2~dx + (xz^2-2y)~dy + 2xyz~dz \end{eqnarray}$ Hier sieht es ja meiner Meinung nach so aus, als ob G schon der Rand einer UMF ist?! Wie sieht jetzt aber diese UMF aus? Eine weitere Aufgabe ist: Sei $\begin{eqnarray} B=\left\{ (x,y,z) \in R^3 \mid z=x^2-y^2 , x^2+y^2 \leq 1 \right\} \end{eqnarray}$ und das Vektorfeld $\begin{eqnarray} Y(x,y,z)=(x,y,z) \end{eqnarray}$ . Berechne $\begin{eqnarray} \int_B rot(Y) \cdot dF \end{eqnarray}$ . Wobei über dem F ein Pfeil ist – dF also das vektorielle Flächenelement ist. Hier habe ich folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} \int_{B}~rot(Y)~dF = \int_{\partial B} Y~ds = \int_{\partial B} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie bestimme ich jetzt hier aber $\begin{eqnarray} \partial B \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank für jede Hilfe. Torsten
28.12.2007, 09:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Differentialform $\begin{eqnarray} \omega = yz^2~\mathrm{d}x + \left( xz^2 - 2y \right)~\mathrm{d}y + 2xyz~\mathrm{d}z \end{eqnarray}$ ist geschlossen. Das heißt, $\begin{eqnarray} \vec{f} = \vec{f}(x,y,z) = (yz^2,xz^2-2y,2xyz) \end{eqnarray}$ besitzt eine Stammfunktion $\begin{eqnarray} F = F(x,y,z) \end{eqnarray}$ , hier sogar global: $\begin{eqnarray} \mathrm{d}F = \frac{\partial{F}}{\partial{x}}~\mathrm{d}x + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}~\mathrm{d}y + \frac{\partial{F}}{\partial{z}}~\mathrm{d}z = \omega \end{eqnarray}$ Diese Stammfunktion kannst du konkret angeben - ein bißchen probieren genügt. Alternativ kannst du $\begin{eqnarray} \mathrm{d}\omega = 0 \end{eqnarray}$ (oder äquivalent dazu $\begin{eqnarray} \operatorname{rot} \vec{f} = 0 \end{eqnarray}$ ) nachweisen. Und dann habt ihr sicher Sätze in der Vorlesung behandelt, wie man unter diesen Voraussetzungen das Kurvenintegral berechnen kann. Was ist denn an der Kurve $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ (übrigens ein merkwürdiger Name für eine Kurve!) noch Besonderes? Bei der zweiten Aufgabe ist durch $\begin{eqnarray} z = f(x,y) = x^2-y^2 \end{eqnarray}$ ein Funktionsgraph gegeben. Das ist hier eine im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ liegende Fläche. Wegen $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \leq 1 \end{eqnarray}$ geht es nur um den über/unter dem Einheitskreis der $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene liegenden Teil dieser Fläche. Den Rand der Fläche bekommt man also für $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt den Einheitskreis in bekannter Weise parametrisierst und diese Parametrisierung bei $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ oben einsetzt, erhältst du eine Parameterdarstellung des Randes der Fläche.
28.12.2007, 10:47	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, an G ist besonders, dass die x- und y-Variabeln den Einheitskreis beschreiben, die y- und z-Variabeln aber auch. D.h. G ist der Rand von einem Körper(?), den ich mir gerade aber nur sehr schwer vorstellen kann. Im Skript habe ich leider keine Sätze dazu gefunden. Nur Divergenz-, Gauß- und Greensche-Formel und dann Sätze zur klassischen Vektoranalysis, welche ich ja dann bei der zweiten Aufgabe anwenden kann. Was kann ich denn mit der Geschlossenheit von $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ anfangen? Mir fällt dazu nur ein, dass ja dann das Integral $\begin{eqnarray} \int d\omega = 0 \end{eqnarray}$ ist (über dem Körper von dem G der Rand ist)! Danke Gruß Torsten
28.12.2007, 17:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine vernünftige berandete Fläche hast, so ist ihr Rand eindeutig bestimmt. Umgekehrt aber gibt es unendlich viele Flächen, die genau diesen Rand haben. Stelle dir Seifenblasen vor, bevor sie sich schließen. Die Seifenhäute bilden verschiedenartigste Flächen, ihr Rand ist aber immer derselbe, nämlich die Schlaufe, durch die geblasen wird. Bei der ersten Aufgabe geht es nur darum, ein Kurvenintegral zu berechnen. Wichtig ist nur, daß diese Kurve geschlossen ist (warum?). Zu welchen wie auch immer gearteten Flächen diese Kurve der Rand ist, ist für die Lösung unerheblich. Und nun gibt es einen Satz, der über den Wert eines Integrals über eine geschlossene Kurve bei einer geschlossenen Differentialform etwas aussagt ... Wie die Kurve $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ (das ist mir lieber als $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ) ausschaut, braucht man zur Lösung der Aufgabe nicht zu wissen. Falls es dennoch interessiert, so stellt man zunächst fest, daß für alle Punkte $\begin{eqnarray} (x,y,z) = (\cos{t},\sin{t},\cos{t}) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ die Relation $\begin{eqnarray} x = z \end{eqnarray}$ gilt. Die Kurvenpunkte liegen mit anderen Worten in der Ebene $\begin{eqnarray} E: \ \ x - z = 0 \end{eqnarray}$ die durch den Ursprung geht und parallel zur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse ist. Sie ist eine winkelhalbierende Ebene der $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ - und $\begin{eqnarray} yz \end{eqnarray}$ -Koordinatenebenen. Führt man in dieser Ebene ein zweidimensionales Koordinatensystem ein mit $\begin{eqnarray} O = (0,0,0) \end{eqnarray}$ als Ursprung und $\begin{eqnarray} \vec{u} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 , 0 , 1 \right) \, , \ \ \ \vec{v} = \left( 0 , 1 , 0 \right) \end{eqnarray}$ als orthonormierten Basisvektoren, so kann man jeden Punkt von $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} (x,y,z) = \left( \sqrt{2} \, \cos{t} \right) \cdot \vec{u} \ + \left( \sin{t} \right) \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ beschreiben. $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ ist daher eine Ellipse mit $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ als Mittelpunkt und Halbachsen in Richtung von $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ der Längen $\begin{eqnarray} a = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} b = 1 \end{eqnarray}$ .
01.01.2008, 18:54	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie heißt denn dieser Satz? Gibt's dazu nen Link? Ich wünsche alles Gute fürs Neue Jahr!

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