[Aufgabensamlung] Fragen & Antworten 2

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27.12.2007, 10:07

tigerbine

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[Aufgabensamlung] Fragen & Antworten 2

Hier gibt es eine kleine Sammlung von 15 Aufgaben in "Frage & Antwort" Form. Lesen2

Themen

Polynominterpolation (28, 33 )
numerische Integration (29, 31, 32 )
Gewichte von Quadraturformeln (26, 30 )
Integration durch Extrapolation (27 )
trigonometrische Interpolation (36) 38)
Tschebyscheff-Polynome (34)
Fourier-Transformation (35)
Bernstein-Polynome (37)
Cholesky-Zerlegung (39)
Singulärwertzerlegung (40 )

27.12.2007, 10:10

tigerbine

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Aufgabe 26 - Gewichte von Quadraturformeln
Richtig oder falsch?

Alle Gewichte der Gauß-Legendre Formeln sind betragsmäßig $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$

27.12.2007, 10:10

tigerbine

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Lösung Aufgabe 26
Richtig. Die Gewichte sind nicht negativ und summieren auf die Intervallänge 2 (Intervall [-1,1])

27.12.2007, 10:15

tigerbine

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Aufgabe 27 - Extrapolation
Nehmen sie an, dass eine Integrationsformel $\begin{eqnarray*} s(h)\approx s_0 \end{eqnarray*}$ mit Schrittweite h folgende Fehlerentwicklung

$\begin{eqnarray*} s(h)-s_0 = s_1h+ s_2h^2+ ... \end{eqnarray*}$

Schätzen sie s_0 mit Hilfe von Extrapolation aus den Werten

$\begin{eqnarray*} s(1) = 1.91,~s(0.5) = 1.45,~s(0.25) = 1.31 \end{eqnarray*}$
Interpretieren sie den extrapolierten Wert als Wert eines Polynoms p an der Stelle 0 und geben Sie p bezüglich der Daten aus (a) in der Newton Form an.

27.12.2007, 10:42

tigerbine

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Lösung Aufgabe 27a
Es ist $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ der wahre Wert des Integrals und s(h) eine von der Schrittweite h abhängige Näherung. So können wir die Gleichung wie folgt umschreiben:

$\begin{eqnarray*} s(h)=s_0 + s_1h^1+ s_2h^2+ ... \end{eqnarray*}$

Die angegebene Tabelle beinhaltet übersetzt auf die im Workshop verwendeten Bezeichnungen die Daten:

$\begin{eqnarray*} I_h(f) = I(f) + c_1h^{k_1} + c_2h^{k_2} + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1=s_1, \quad k_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2=s_2, \quad k_2 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_{1}(f) = 1.91,~I_{0.5}(f) = 1.45,~I_{0.25}(f) = 1.31 \end{eqnarray*}$

Mit der Vorgehensweise zum Erhalt Formeln höherer Ordnung ergeben sich dann folgende Näherungswerte für das Integral:

$\begin{eqnarray*} \hat{I}_{0.5} = \frac{2^1\cdot I_{0.5} - I_{1}}{2^1-1} =\frac{2.90-1.91}{1} = 0.99 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{I}_{0.25} = \frac{2^1\cdot I_{0.25} - I_{0.5}}{2^1-1} =\frac{2.62-1.45}{1} = 1.17 \end{eqnarray*}$

Eine weitere Wiederholung des Verfahrens ist noch möglich. Beachte, dass nun $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ verwendet werden muss.

$\begin{eqnarray*} \tilde{I}_{0.25} = \frac{2^2\cdot \hat{I}_{0.25} - \hat{I}_{0.5}}{2^2-1} = \frac{4 \cdot 1.17-0.99}{3} = 1.23 \end{eqnarray*}$

27.12.2007, 11:03

tigerbine

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Lösung Aufgabe 27b
Hier liegt im Gegensatz zur Romberg-Integration (sum. Trapezregel) das Fehlerpolynom in h und nicht h² vor. Es kann zur Extrapolation das Neville-Schema 1 zu 1 übertragen werden.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:	Neville Schema - Funktionswerte bei 0 ===================================== NW = 1.0000 1.9100 0.9900 1.2300 0.5000 1.4500 1.1700 0 0.2500 1.3100 0 0

Um die Koeffizienten der IPS in Newton-Form zu gewinnen, verwenden wir das Schema der dividierten Differenzen.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:

Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 
DD =
            1         1.91         0.92         0.48
          0.5         1.45         0.56            0
         0.25         1.31            0            0
 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_ 2(x)= 
 
         + 1.91 
         + 0.92 * [x - 1]   
         + 0.48 * [x - 1] [x - 0.5]

Das Auswerten an der Stelle 0 erledigt man durch einsetzen:

$\begin{eqnarray*} p_2(0) = 1.91 - 0.92+0.24 = 1.23 \end{eqnarray*}$

27.12.2007, 14:57

tigerbine

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Aufgabe 28 - Polynominterpolation
Richtig oder falsch?

Ist die dividierte Differenz f[1,2,3] einer glatten Funktion f größer als 4, so folgt

$\begin{eqnarray*} \max_x~|f^{(2)}(x)|> 5 \end{eqnarray*}$

27.12.2007, 15:03

tigerbine

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Lösung Aufgabe 28
Aus der Darstellung der dividierten Differenzen wissen wir dass gilt

$\begin{eqnarray*} x_0=1,~x_1=2,~x_2=3~\Rightarrow n+1=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f[1,2,3] = \frac{f^{(2)(t)}}{2!} > 4 \end{eqnarray*}$

Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} f^{(2)}(t) > 5 \end{eqnarray*}$

27.12.2007, 15:12

tigerbine

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Aufgabe 29 - Numerische Integration

Gegeben sei das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ und die Knoten $\begin{eqnarray*} x_1=0,~x_2=1,~x_3=3 \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie dazu eine Quadraturformel mit Exaktheitsgrad 2.
Von einer Funktion $\begin{eqnarray*} f\in C^{2}([-2,2]) \end{eqnarray*}$ seien folgende Funktionswerte gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(-2)=-3,~f(-1)=-1,~f(0)=0,~f(1)=2,~f(2)=1 \end{eqnarray*}$

Nähern Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ mit der zusammengesetzten Keplerregel unter Verwendung aller gegebenen Funktionswerte an.
Schätzen Sie unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} |f^{(4)}(x)| \leq 15,~\forall~x \in [-2,2] \end{eqnarray*}$ den Fehler ab.

27.12.2007, 15:45

tigerbine

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Lösung Aufgabe 29a
Da die Quadraturformel die den Exaktheitsgrad 2 hat, besitzt die Ordnung 3. Es werden also Polynome bis zum Maximalgrad 2 exakt integriert. Es muss also gelten, angepasst an die Bezeichnungen des Workshops.

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 + 1 \cdot \omega_2 = \int_{0}^{3} 1~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 + 3 \cdot \omega_2 = \int_{0}^{3} x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 +9 \cdot \omega_2 = \int_{0}^{3} x^2~dx \end{eqnarray*}$

Das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 + 1 \cdot \omega_2 = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 + 3 \cdot \omega_2 = \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 +9 \cdot \omega_2 = 9 \end{eqnarray*}$

Nun muss man mittels Gaussalgorithmus das folgende LGS lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1&9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_0 \\ \omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{9}{2} \\ 9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_0 \\ \omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \omega_2 = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \omega_1 = \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega_0=0 \end{eqnarray*}$

Somit lautet die Quadraturformel:

$\begin{eqnarray*} I_f = \frac{9}{4}\cdot f(1) + \frac{3}{4} \cdot f(3) \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 11:12

tigerbine

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Lösung Aufgabe 29b
Zusammengesetzte Keplerregel wird auch als zusammengesetzte Simpsonregel bezeichnet. Damit erhalten wir, insbesondere unter der Beachtung der Maschenweite $\begin{eqnarray*} \tilde h =\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I^S(f)=\frac{h}{6} \Bigl\{f(a) + 2\cdot \sum_{p=1}^{N-1}~f(a+p\cdot h)+ 4\cdot \sum_{p=1}^{N}~f(a+(2p-1)\cdot \frac{h}{2})+f(b) \Bigr\} \end{eqnarray*}$

Dabei gilt hier:

$\begin{eqnarray*} a=-2,~b=2 \Rightarrow b-a = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N=2 \Rightarrow \tilde h = 1,~h=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I^S(f)&&=\frac{2}{6} \Bigl\{f(-1) + 2\cdot \sum_{p=1}^{1}~f(-2+p\cdot 2)+ 4\cdot \sum_{p=1}^{2}~f(-2+(2p-1)\cdot \frac{2}{2})+f(2)) \Bigr\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I^S(f)&&=\frac{1}{3} \Bigl\{f(-2) + 2\cdot [f(0)] + 4\cdot [f(-1)+f(1)] +f(2)) \Bigr\} \\&& = \frac{1}{3} \Bigl\{-3 + 2\cdot 0 + 4 \cdot(-1 + 2) +1 \Bigr\} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 13:33

tigerbine

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Lösung Aufgabe 29c
Es gilt die Fehlerabschätzung

$\begin{eqnarray*} |I(f)-I^S(f)| \leq \frac{b-a}{2880} \cdot h^4 \cdot \max_{x \in [a,b]}~|f^{(4)}(x)| \end{eqnarray*}$

Damit erhalten wir hier:

$\begin{eqnarray*} |I(f)-I^S(f)| && \leq \frac{4}{2880} \cdot 2^4 \cdot \max_{x \in [a,b]}~|f^{(4)}(x)| \\&&= \frac{2^6}{2880} \cdot \max_{x \in [a,b]}~|f^{(4)}(x)| \\ &&\leq \frac{2^6}{2880} \cdot 15 \\ && = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 13:40

tigerbine

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Aufgabe 30 - Gewichte von Quadraturformeln
Richtig oder falsch?

Alle Gewichte der Gauß-Formel für $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \end{eqnarray*}$ sind positiv.

28.12.2007, 13:46

tigerbine

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Lösung Aufgabe 30
Richtig. Zum Beweis.

28.12.2007, 13:48

tigerbine

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Aufgabe 31 - numerische Integration
Richtig oder falsch?

Die Trapezregel ist für periodische Funktionen exakt.

28.12.2007, 13:49

tigerbine

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Lösung Aufgabe 31
Falsch,

es gilt lediglich, dass glatte periodische Funktionen auf Integrationsintervallen die einem ganzzahligen Vielfachen der Periodenlänge entsprechen mit beliebig hoher Ordnung approximiert werden können.

28.12.2007, 13:55

tigerbine

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Aufgabe 32 - Interpolation & Integration

Schätzen Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ aus den folgenden Daten mit quadratischer Interpolation

$\begin{eqnarray*} f(-1)=6,~f(0)=1,~f(1)=2 \end{eqnarray*}$
Geben Sie eine obere Schranke für den Fehler mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \max_{x} |f^{(3)}(x)| \end{eqnarray*}$ an.

28.12.2007, 14:46

tigerbine

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Lösung Aufgabe 32a

code:

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10:
11:
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13:
14:
15:
16:

Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 
DD =
    -1     6    -5     3
     0     1     1     0
     1     2     0     0
 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_ 2(x)= 
 
         +    6 
         -    5 * [x + 1]   
         +    3 * [x + 1] [x - 0]

code:
1: 2: 3:	p_ 2(x)= + 1 * x^0 - 2 * x^1 + 3 * x^2

Hieraus folgt die Integralabschätzung:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x)~dx \approx \int_{0}^{1}~p_2(x)~dx = \int_0^1~3x^2-2x+1~dx = [x^3-x^2+x]_0^1=1 \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 15:32

tigerbine

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Lösung Aufgabe 32b
Für den Interpolationsfehler gilt:

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| = |f(x)-p_2(x)| =|(f-p_2)(x)|= (x+1)(x-0)(x+1) \cdot \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}, \quad \xi \in [-1,1] \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich folgende Abschätzung für den Integrationsfehler:

$\begin{eqnarray*} \left| \int_0^1~f(x)~dx - \int_0^1 ~p_2(x)~dx \right| &&= \left|\int_0^1~(f-p_2)(x)~dx \right| \\&&=\left|\int_0^1~(x+1)(x-0)(x+1) \cdot \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}~dx \right| \\&& \leq \frac{1}{6} \cdot \max_{x \in [-1,1]}~|f^{(3)}(x)| \cdot \underbrace{\int_0^1~|x^3-x|~dx}_{=\frac{1}{4}} \\&&= \frac{1}{24} \cdot \max_{x \in [-1,1]}~|f^{(3)}(x)| \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 18:35

tigerbine

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Aufgabe 33 - Polynominterpolation

Es sei $\begin{eqnarray*} f:~]a,b[ \to \mathbb R ~(0 < b-a < \infty) \end{eqnarray*}$ beliebig oft differenzierbar, und es gebe ein M > 0, so dass $\begin{eqnarray*} |f^{(k)}(t)| < M^k ~\forall t \in ]a,b[,~k=0,1,2,.... \end{eqnarray*}$

Weiter sei eine Folge $\begin{eqnarray*} t_k \in ]a,b[,~k=0,1,2,... \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} t_i \neq t_j,~\forall ~i \neq j \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Folge der interpolierenden Polynome $\begin{eqnarray*} p_n \in \Pi_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_n(t_k) = f(t_k), k=0,1,2,... \end{eqnarray*}$ auf ]a,b[ gleichmäßig gegen f konvergiert.
Nun soll die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$ in n äquidistanten Stützstellen durch Polynome interpoliert werden. Konvergiert die Folge der interpolierenden Polynome gegen f? Wie ist diese Beobachtung mit (a) zu vereinbaren?

23.09.2008, 00:10

tigerbine

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33. Lösung
...

23.09.2008, 00:12

tigerbine

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Aufgabe 34 - Tschebyscheff Polynome
Entwickeln Sie das Polynom $\begin{eqnarray*} p_5(x)=16x^5-32x^4-8x^3+22x^2-3x-1 \end{eqnarray*}$ nach Tschebyscheff-Polynomen.

23.09.2008, 00:15

tigerbine

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Lösung Aufgabe 34

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:

Es werden Monom- in Tschebyscheff-Koordinaten umgerechnet.
Höchstgrad ist n=10
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Monom-Koordianaten: a_0 ,...,  a_n
 
Monom-Koordinaten eingeben:   [-1,-3,22,-8,-32,16]
 
------------------------------------------------------------------------------
 
Tschebyscheff-Koordinaten:  -2,  1,  -5,  3,  -4,  1,  
 
p_ 5(x)=      - 2 * T_0(x)     + 1 * T_1(x)     - 5 * T_2(x)     + 3 * T_3(x)     - 4 * T_4(x)     + 1 * T_5(x)

22.11.2008, 11:05

tigerbine

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Aufgabe 35 - trig. Interpolation
Richtig oder falsch?

Die Fourier-Transformierte des Vektors $\begin{eqnarray*} v = [1,1, ..., 1]^T \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \hat{v} = [n,0,...,0] \end{eqnarray*}$

22.11.2008, 12:31

tigerbine

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Lösung Aufgabe 35
Richtig.

Ein kleiner Test legt die Gültigkeit der Behauptung nahe.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	sft([1;1;1;1;]) ans = 4 0 0 0

Schauen wir uns die zugehörige Fouriermatrix an.

$\begin{eqnarray*} F=\begin{pmatrix} 1 &1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 &-i & -1 & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Etwas allgemeiner gesagt:

$\begin{eqnarray*} F=\begin{pmatrix} (\omega_4^0)^0 &(\omega_4^0)^1 & (\omega_4^0)^2 & (\omega_4^0)^3 \\ (\omega_4^1)^0 &(\omega_4^1)^1 & (\omega_4^1)^2 & (\omega_4^1)^3 \\(\omega_4^2)^0 &(\omega_4^2)^1 & (\omega_4^2)^2 & (\omega_4^2)^3 \\ (\omega_4^3)^0 &(\omega_4^3)^1 & (\omega_4^3)^2 & (\omega_4^3)^3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Multiplikation mit dem Vektor v entspricht der Bildung der Zeilensumme. Der Rest steht hier: [Workshop - Trigonometrische Interpolation]

22.11.2008, 12:34

tigerbine

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Aufgabe 36 - trig. Interpolation
Richtig oder falsch?

Die diskrete Fouriertransformierte einen reellen Vektors ist reell.

22.11.2008, 12:38

tigerbine

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Lösung Aufgabe 36
Falsch.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	sft([1;2;3;4]) ans = 10.0000 -2.0000 -2.0000 - 2.0000i -2.0000 + 2.0000i

22.11.2008, 16:45

tigerbine

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Aufgabe 37 - Bernstein Polynome
Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=2-3x+3x^2+4x^3 \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie die Bezier-Darstellung fur p(x).
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} p(\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$ mit dem Algorithmus von Casteljau.
Skizzieren Sie den Graphen des Polynoms sowie das Bezier-Polygons für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ in einem Schaubild

22.11.2008, 19:11

tigerbine

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Lösung Aufgabe 37a
Gegeben ist ein Polynom p in Monom-Darstellung. Nun führen wir einen Basiswechsel durch, so dass wir eine Darstellung bzgl. der Bernsteinpolynome ([Artikel] Bernstein - Polynome und CAD) erhalten. Als Vektorraum wählen wir aufgrund des Maximalgrads 3 von p den $\begin{eqnarray*} \Pi_3 \end{eqnarray*}$ . Somit lauten die Basispolynome:

$\begin{eqnarray*} B_{0,3}(x)=(1-x)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{1,3}(x)= 3x(1-x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{2,3}(x)=3x^2(1-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{3,3}(x)= x^3 \end{eqnarray*}$

code:

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12:
13:

MtoB
 
Es werden Monom- in Bernstein-Koordinaten umgerechnet.
Höchstgrad ist n=3
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Monom-Koordinaten: a_0 ,...,  a_n
 
Monom-Koordinaten eingeben:   [2,-3,3,4]
 
Bernstein-Koordinaten:  2,  1,  1,  6,  
 
p_ 3(x)=      + 2 * B_0(x)     + 1 * B_1(x)     + 1 * B_2(x)     + 6 * B_3(x)

Damit lautet die Bezier-Darstellung von p:

$\begin{eqnarray*} p(x)= 2\cdot B_0(x) + 1 \cdot B_1(x) + 1\cdot B_2(x) + 6\cdot B_3(x) \end{eqnarray*}$

22.11.2008, 19:20

tigerbine

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Lösung Aufgabe 37b
Mit dem Algortihmus (siehe Anhang) ergibt sich durch fortgesetzte lineare Interpolation:

$\begin{eqnarray*} b_0^0=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1^0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2^0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3^0=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1^1=(1-\frac{2}{3})\cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2^1=(1-\frac{2}{3})\cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3^1=(1-\frac{2}{3})\cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 4 =\frac{13}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2^2=(1-\frac{2}{3})\cdot \frac{4}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{10}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3^2=(1-\frac{2}{3})\cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{13}{3} =\frac{29}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3^3=(1-\frac{2}{3})\cdot \frac{10}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{29}{9} = \frac{68}{27} =p(\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$

22.11.2008, 21:38

tigerbine

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Lösung Aufgabe 37c
Die Ecken des Bezierpolygons berechnen sich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} p_n=\sum_{i=0}^n~\beta_iB_{i,n},~\quad E_i = \Bigl(\frac{i}{n} / \beta_i \Bigr) \end{eqnarray*}$

Somit lauten hier die Punkte:

$\begin{eqnarray*} E_0(0/2),~E_1=(\frac{1}{3} / 1),~E_2=(\frac{2}{3} / 1),~E_3=(1 / 6) \end{eqnarray*}$

[attach]9217[/attach]

22.11.2008, 22:53

tigerbine

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Aufgabe 38 - trig. Interpolation
Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos^3(x) \end{eqnarray*}$ Bestimmen sie bzgl. der Knoten $\begin{eqnarray*} x_i=i\cdot \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$ , i=0,1,2, das reelle trig. Interpolationspolynom.

22.11.2008, 23:20

tigerbine

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Lösung Aufgabe 38

code:

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TrigoInt
 
Es wird trigonometrisch interpoliert.
 
Der Datensatz hat die Form
    Knoten:  [x_0,...,x_n]
    f-Werte: [y_0,...,y_n]
 
f-Werte eingeben: [1,-0.125,-0.125]
---------------------------------------------------
Current plot released
 
1. Approximation. Koeffizienten anzeigen? 0 - ja / 1 - nein 1
 
 
2. Trigonometrische Interpolation. Koeffizienten anzeigen? 0 - ja / 1 - nein  1
 
Current plot held
3. Diskrete Fourier Analyse. Koeffizienten anzeigen? 0 - ja / 1 - nein  0
 
ai =
    0.5000
    0.7500
bi =
 -1.8504e-017

$\begin{eqnarray*} T^*_3(x)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos(x) = 0.25+0.75\cos(x) \end{eqnarray*}$

[attach]9222[/attach]

01.02.2009, 17:41

tigerbine

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Aufgabe 39 - Cholesky Zerlegung
Berechne die Cholesky-Zerlegung der MAtrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 9 & 3&3 \\ 3&2&-1\\ 3&-1&7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und lösen sie damit das LGS Ax=b mit

$\begin{eqnarray*} b=(3,2,1)^T \end{eqnarray*}$

01.02.2009, 17:43

tigerbine

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Lösung Aufgabe 39

code:

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40:

Es wird eine LL^T-Zerlegung nach Cholesky berechnet
(Annahme: A ist SPD-Matrix)
 
A0 =
     9     3     3
     3     2    -1
     3    -1     7
 
 
Durchgang 1 
============
L =
     3     0     0
     1     0     0
     1     0     0
 
Durchgang 2 
============
L =
     3     0     0
     1     1     0
     1    -2     0
 
Durchgang 3 
============
L =
    3.0000         0         0
    1.0000    1.0000         0
    1.0000   -2.0000    1.4142
 
Die Cholesky-Zerlegung lautet:
==============================
L =
    3.0000         0         0
    1.0000    1.0000         0
    1.0000   -2.0000    1.4142
LT =
    3.0000    1.0000    1.0000
         0    1.0000   -2.0000
         0         0    1.4142

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:	L\[3;2;1] ans = 1.0000 1.0000 1.4142 LT\[1;1;sqrt(2)] ans = -1 3 1

01.02.2009, 18:13

tigerbine

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Aufgabe 40 - Singulärwertzerlegung
Bestimme die Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse von

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1&-1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.02.2009, 19:48

tigerbine

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RE: Aufgabe 40 - Singulärwertzerlegung
$\begin{eqnarray*} A=U\sum V^H = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^+=V\sum^+U^H = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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