Schnittgerade zweier Ebenen, Ebenenschar

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27.12.2007, 21:25

Drapeau

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Schnittgerade zweier Ebenen, Ebenenschar

Hallo erstmal, Wink

ich höre schon Stimmen die sagen: Nicht der schon wieder. Big Laugh

Aber diesmal denke ich, dass ich nicht jeden zum Haareraufen verleite! Augenzwinkern

Hier nun zu meiner Rechnung zu Schnittgeradenbestimmung zweier Ebenen:

gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} E: 4x_1+6x_2+3x_3-24=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F: 6x_1+4x_2+3x_3-24=0 \end{eqnarray*}$

Durch ein LGS ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x_1=12/7-39t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=24/7+6t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich die Schnittgerade s:

$\begin{eqnarray*} s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 12/7 \\ 24/7 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -39 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist diese Rechnung richtig? Logisch kam sie mir ja vor Big Laugh

Dann hab ich folgendes Problem, wo ich absolut nicht weiterkomme.

Die Aufgabenstellung:

E und F gehören zu der Ebenenschar
$\begin{eqnarray*} E_a: (10-a)x_1+ax_2+3x_3-24=0 ; a\in R \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass alle Ebenen dieser Schar die Gerade s enthalten. Für welches a steht die zugehörige Ebene $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ senkrecht auf E?

Ich hoffe ihr könnt mir wieder unter die Arme greifen; bis dato war es klasse der Support!

Mein Dank im Vorraus,
mfG Drapeau

27.12.2007, 21:48

tmo

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deine schnittgerade stimmt nicht. du musst dich irgendwo verrechnet haben.

im zweifelsfall kannst du ja dein rechenweg posten.

zur kontrolle: der richtungsvektor muss linear abhängig zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

zur zweiten aufgabe:
der erste teil ist sehr einfach.
deine lösung aus dem LGS der ersten aufgabe setzt du einfach die Schargleichung ein und formst dann um, sodass diese gleichung letztendlich äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ ist, also immer wahr, egal wie a gewählt ist.

beim zweilten teil musst du a so bestimmen, dass der normalenvektor von E_a senkrecht zum normalenvektor von E steht.

27.12.2007, 22:00

riwe

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eine form der schnittgeraden wäre

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zum den letzten teil: wie wäre es mit dem skalarprodukt verwirrt

$\begin{eqnarray*} a=-\frac{49}{2} \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 10:20

Drapeau

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Ok hab einen Rechenfehler gemacht, hab jetzt jedoch folgende Geradengleichung heraus:

$\begin{eqnarray*} s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Rechenweg dazu:

$\begin{eqnarray*} I) 4x_1+6x_2+3x_3=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II) 6x_1+4x_2+3x_3=24 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | I-II \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I) 4x_1+6x_2+3x_3=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II') -2x_1+2x_2=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | x_2=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x_1+2t=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |/(-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+2t=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |-2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=-2t \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 4(-2t)+6t+3x_3=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8t+6t+3x_3=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2t+3x_3=24 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |:3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2t+x_3=8 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |+2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=8+2t \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre froh, wenn mein(e) Fehler aufgedeckt werden Big Laugh

MfG

28.12.2007, 10:30

klarsoweit

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Da hast du gehuddelt:

Zitat:

Original von Drapeau
$\begin{eqnarray*} -2x_1+2t=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |/(-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+2t=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |-2t \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 10:40

Drapeau

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Das Teilen durch (-2) ist wahrscheinlich falsch denke ich mal, oder? verwirrt

Aber wie sähe es denn richtig aus; sprich wie kann man den Fehler beheben?

Vielen Dank im Vorraus,
mfG

28.12.2007, 10:46

tmo

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du musst jeden summanden durch -2 teilen.

das ist das distributivgesetz.

28.12.2007, 10:55

Drapeau

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Achso ok, naja denke, dass das wohl ein peinlicher Fehler war böse

Folgendes Ergebnis habe ich nun erhalten:

$\begin{eqnarray*} s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -10/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nunja, dann eben das Ganze mal 3 und man erhält das von euch schon längst berechnete Ergebnis!

Klasse vielen Dank, werde mich mal an der Ebenenschar versuchen, mal sehen was da für ein Schmarn entsteht Big Laugh

MfG

28.12.2007, 11:38

Drapeau

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So,
hab jetzt für die Ebenenschar die x-Werte eingesetzt und hab dann eben umgeformt, sodass am Ende 0=0 herauskam.
Soweit so gut, nur verstehe ich nicht, warum dass so sein muss. Also die Gerade s ist nun in allen Ebenen der Schar enthalten, aber warum?

Des Weiteren im 2. Teil, habe ich zwei Normalenvektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 10-a \\ a \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur komme ich irgendwie nicht auf das Ergebnis von riwe: -49/2

Wie geht man denn da vor? Eine Möglichkeit wäre ja blind zu raten, sodass es 0 ergibt, aber rechnerisch muss es doch auch irgendwie gehen?
Evtl. durch das Kreuzprodukt?

MfG

28.12.2007, 11:49

derkoch

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Zitat:

Nur komme ich irgendwie nicht auf das Ergebnis von riwe: -49/2

Wie geht man denn da vor? Eine Möglichkeit wäre ja blind zu raten, sodass es 0 ergibt, aber rechnerisch muss es doch auch irgendwie gehen?
Evtl. durch das Kreuzprodukt?

Zitat:

Original von riwe

zum den letzten teil: wie wäre es mit dem skalarprodukt verwirrt

$\begin{eqnarray*} a=-\frac{49}{2} \end{eqnarray*}$

28.12.2007, 12:02

riwe

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Zitat:

Original von Drapeau
So,
hab jetzt für die Ebenenschar die x-Werte eingesetzt und hab dann eben umgeformt, sodass am Ende 0=0 herauskam.
Soweit so gut, nur verstehe ich nicht, warum dass so sein muss. Also die Gerade s ist nun in allen Ebenen der Schar enthalten, aber warum?

es gibt 2 möglichkeiten:
a) die gerade liegt in der ebene
b) die gerade liegt nicht in der ebene.
c) g und E schneiden einander - (dann bekommst du einen festen wert für den parameter)

wenn du nun die geradengleichung in die ebenengleichung einsetzt, setzt du voraus, dass a) zutrifft (oder c))

bekommst du jetzt eine wahre aussage, so stimmt deine voraussetzung.
bekommst du diese nicht, so stimmt auch deine annahme nicht.

UND $\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist eine ........ aussage, daher.....

Zitat:

Des Weiteren im 2. Teil, habe ich zwei Normalenvektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 10-a \\ a \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur komme ich irgendwie nicht auf das Ergebnis von riwe: -49/2

Wie geht man denn da vor? Eine Möglichkeit wäre ja blind zu raten, sodass es 0 ergibt, aber rechnerisch muss es doch auch irgendwie gehen?
Evtl. durch das Kreuzprodukt?

MfG

na dann bilde doch endlich das skalarprodukt der beiden vektoren,
für dieses muß gelten $\begin{eqnarray*} Skalarprodukt = 0 \end{eqnarray*}$
auch das steht schon weiter oben unglücklich

28.12.2007, 12:58

Drapeau

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Entschuldigt aber irgendwie bin ich zu dumm dafür.

$\begin{eqnarray*} (4 * 6 * 3) + (10-a*a*3) = 0 \end{eqnarray*}$

So berechnet man doch dieses elende *Krise krieg* Skalarprodukt unglücklich

Aber was ich auch mache, ich komme nicht auf a=-49/2 traurig

Verzweiflung pur.. Hammer

28.12.2007, 13:00

derkoch

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Zitat:

Original von Drapeau
Entschuldigt aber irgendwie bin ich zu dumm dafür.

$\begin{eqnarray*} (4 * 6 * 3) + (10-a*a*3) = 0 \end{eqnarray*}$

So berechnet man doch dieses elende *Krise krieg* Skalarprodukt unglücklich

Aber was ich auch mache, ich komme nicht auf a=-49/2 traurig

Verzweiflung pur.. Hammer

Dann empfehle ich dir nochmal das Buch zur Hand zu nehmen und nach zuschauen wie man das Skalar Produkt berechnet!

Das was du hingeschriebenhast ist Klo

28.12.2007, 13:14

riwe

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Zitat:

Original von Drapeau
Entschuldigt aber irgendwie bin ich zu dumm dafür.

(4 * 6 * 3) + (10-a*a*3) = 0

So berechnet man doch dieses elende *Krise krieg* Skalarprodukt unglücklich

Aber was ich auch mache, ich komme nicht auf a=-49/2 traurig

Verzweiflung pur.. Hammer

in ergänzung zu Kochs empfehlung, einmal ein buch - und/oder auch eins über grundrechnungsarten - in die hand zu nehmen:

das heißt NICHT skalarSUMME sondern skalarPRODUKT Big Laugh

ich mache es mal für den n-dimensionalen raum mit n = 3 unglücklich

vor:

$\begin{eqnarray*} skalarprodukt: \quad{ }<\vec{a},\vec{b}>= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\quad{}\vec{a}\perp\vec{b}\to<\vec{a},\vec{b}>=0 \end{eqnarray*}$

und jetzt mit dem buch über grundrechenarten in der hand mußt du nur mehr die zahlen einsetzen unglücklich

und wie schon einmal hingemalt: ÜBEN, ÜBEN, ÜBEN.....

29.12.2007, 11:20

Drapeau

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Ach du liebe Schande unglücklich

Man kann sich auch ziemlich dumm anstellen. Da ich sovieles nachholen musste, war ich ziemlich durcheinander aber jetzt stimmts wieder.

Vielen vielen Dank Augenzwinkern

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Schnittgerade zweier Ebenen, Ebenenschar

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