Wie berechne ich die Normale im Wendepunkt?

27.12.2007, 21:34

MatheKind

Wie berechne ich die Normale im Wendepunkt?

Hallo,
die Frage wurde oft gestellt, habe auch die Suchenfunktion benutzt, aber konnte die Lösungen irgendwie nicht wirklich auf meine Aufgaben ableiten.

Hier die Aufgabe:

"Gegeben sei das Polynom dritten Grades:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x³ - 3x \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Flächen dieser Kurve und derjenigen Geraden durch ihren Wendepunkt, die senkrecht auf der Wendetangente steht."

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, wird die Normale gesucht. Bevor ich aber die Normale finde, brauche ich die Tangente am Wendepunkt und genau das ist mein Problem. Ich kann ohne Probleme die Tangente am Maximum berechen, aber am Wendepunkt habe ich meine Schwierigkeiten.

Hier was ich habe:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x² - 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 6 \end{eqnarray*}$

Wendepunkte herausfinden:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Funktionswert herausfinden:

$\begin{eqnarray*} f(0) = 3 * 0² - 3 * 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

Wendestellen: $\begin{eqnarray*} ( 0/ 0) \end{eqnarray*}$

Um die Steigung einer Tagente herauszufinden, nimmt man normalerweise immer die erste Ableitung der Funktion und setzt dort den x-Wert ein. In diesem Fall weiß ich jedoch nicht, welche Ableitung ich beim Wendepunkte verwenden soll!

Soll ich vielleicht auch hier weiterhin die erste Ableitung verwenden?

Also folgendermaßen:

Steigung ermitteln:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 6 * 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$

Achsenabschnitt ermitteln:

$\begin{eqnarray*} y = m*x + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 * x + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$

Tangente ermitteln:

$\begin{eqnarray*} y = 0 * x + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$

Steigung der Normalen ermitteln:

$\begin{eqnarray*} m_1 * m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 * m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Normale ermitteln durch Punktsteigungsformel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 * (x - 0) + f(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?!

Liebe Grüße
MatheKind:

PS: Dass die Normale gleich der x-Achse entspricht, kann man schon am Wendepunkte $\begin{eqnarray*} (0 / 0) \end{eqnarray*}$ erkennen. Trotzdem möchte ich das formal und mathematisch korrekt herleiten!

27.12.2007, 21:39

tmo

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es ist $\begin{eqnarray*} f'(0) = -3 \end{eqnarray*}$

und ja es war schon richtig die erste ableitung zu nehmen um die tangentensteigung zu ermitteln.

27.12.2007, 22:00

MatheKind

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Zitat:

Original von tmo
es ist $\begin{eqnarray*} f'(0) = -3 \end{eqnarray*}$

und ja es war schon richtig die erste ableitung zu nehmen um die tangentensteigung zu ermitteln.

Oh! Habe versehentlich die zweite Ableitung genommen! unglücklich

Ok, dann folgendermaßen:

Funktionswert:

f(0) = 0

Steigung der Tangente:

f'(0) = 3

Achsenabschnitt ermitteln:

$\begin{eqnarray*} y = m*x + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 * x + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$

Tangtenermittelung:

$\begin{eqnarray*} y = - 3x \end{eqnarray*}$

Steigung der Normalen:

$\begin{eqnarray*} m_1 * m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3 * m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2 = - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Normale ermitteln durch Punktsteigungsformel:

$\begin{eqnarray*} y = - \frac{1}{3} * ( x - x_1) + f(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = - \frac{1}{3} * ( x - 0) + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = - \frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?!

Dann ist die Normale doch nicht die x-Achse, wie Anfangs vermutet!

Liebe Grüße
MatheKind

27.12.2007, 22:03

tmo

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die steigung der normalen stimmt noch nicht ganz, du hast einen vorzeichenfehler gemacht.

27.12.2007, 22:04

MatheKind

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Auf dem Papier hatte ich es richtig. Habe es nur falsch abgeschrieben: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Danke! smile

Liebe Grüße
MatheKind

27.12.2007, 22:05

ethused-Earthling

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Zitat:

Original von MatheKind
Steigung der Normalen:

$\begin{eqnarray*} m_1 * m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3 * m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2 = - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac {-1}{-3} = \frac {1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Zu langsam!

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