Tensorprodukt

27.12.2007, 21:49	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorprodukt Hallo! Sei R ein kommutativer Ring und M, M', N und N' R-Moduln. Ich hab glaub ich mal gehört oder gelesen (oder ich bilde mir das ein), dass $\begin{eqnarray} Hom_R(M, M')\otimes_R Hom_R(N, N') \cong Hom_R(M \otimes_R N, M' \otimes_R N') \end{eqnarray}$ . Aber ich hab gerade nichts, wo ich das nachlesen könnte und mir fällt auch grad nicht ein, wie ich das beweisen soll. Kann mir jemand helfen?
11.01.2008, 10:29	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
So, immer noch bei der Frage. Aber jetzt mal anders: Ist $\begin{eqnarray} M\otimes_R N \cong Hom_R(M, N) \end{eqnarray}$ ? Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume ist das ja der Fall. Denn seien $\begin{eqnarray} (e_i)_{i\leq n}, (f_i)_{i\leq m} \end{eqnarray}$ Basen von Vektorräumen V und W über K, dann faktorisiert jede bilineare Abbildung $\begin{eqnarray} V \times W \to C \end{eqnarray}$ eindeutig über $\begin{eqnarray} \phi: V \times W \to K^{m \times n}: (v, w) \mapsto (c_{i,j})_{i \leq m, j\leq n}=(v_j w_i)_{i \leq m, j\leq n} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} v_j \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} w_i \end{eqnarray}$ die Koeffizienten der Vektoren aus V und W in der oben genannten Basisdarstellung sein sollen. Es gilt bekanntlich $\begin{eqnarray} K^{m\times n} \cong Hom_K(V, W) \end{eqnarray}$ . Also folgt die Behauptung für endlichdimensionale Vektorräume (und bei freien Moduln genauso, oder?). Wie sieht es im allgemeineren Fall von Moduln über einem kommutativen Ring aus? Oder vielleicht erst mal im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume? Oder auch gleich ganz allgemein im Fall von Moduln (auch nichtkommutativ)? Hab schon ganz viel gegooglet, aber nix gefunden. Und selber komm ich nicht drauf. Aber ich wüsste es so gern. Vielleicht ist es ja auch ganz trivial und ich bin nur zu blöde. Ich weiß nicht viel über Tensoralgebra.
11.01.2008, 11:19	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: Blödsinnigen Gedanken verworfen.

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