vollständige induktion für eine determinante

Neue Frage »

marci_ Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige induktion für eine determinante
hallo!

ich soll mit hilfe der vollständigen induktion für die Matrix zeigen, dass gilt: det :



die vorgehensweise für die induktion ist mir klar...
für den induktionsanfang, setzte ich da n=1 ?

und wie gehe ich beim induktionsschritt genau vor?
mir fehlt der ansatz...

vielen dank, gruß marci
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Der Induktionsanfang ist klar (n=1). Im Induktionsschritt musst du die Dimension der Matrix um mind. 1 verringern (z.B. indem du nach einer Spalte entwickelst), sodass du die IV anwenden kannst.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

angenommen ich entwickle nach der vorletzen spalte, dann fällt ja bis auf die 1 bzw c_2 spalten alles weg, und wie kann ich dann den induktionsschritt ansetzen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Entwickle nach der ersten Spalte, wende die Induktionsvoraussetzung an und entwickle die verbleibende Determinante nach der ersten Zeile.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das dann nach der ersten spalte entwickle steht da:



wie kann ich hier jetzt die induktionsvorraussetzung anwenden
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht, es fehlt das alternierende Vorzeichen. Schau dir die erste Determinante doch mal genau an unglücklich
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Aufgabe durch Induktion zu lösen ist - gut, dann soll es so sein! Aber etwas gekünstelt ist das schon, wo man doch durch Addition geeigneter Vielfacher der ersten, zweiten usw. Zeile zur letzten sofort eine obere Dreiecksmatrix erhält.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

@therisen: meinst du, dass es -c_n heißt? habe ich das "schachbrettmuster" falsch gemacht oder stimmt die erste entwicklung schon nicht?

@leopold: die aufgabe ist halt so gestellt...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss lauten. Schau dir die Formel doch mal genau an.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

ich wusste nicht, ob da + oder - steht und hab mal plus genommen, aber n ergibt viel mehr sinn =)

stimmt die entwicklung sonst?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

dann schreib ichs jetzt mal nach dem entwickeln auf:



den "hinteren teil" entwickle ich nach der ersten zeile und erhalte die einheitsmatrix mit determinante 1...

beim "vorderen teil" muss ich irgendwas sehen, aber ich sehs irgendwie nicht ganz, wie kann ich jetzt die vollständige induktion anwenden?
ich vermute, dass der vordere teil die determinante: hat ?!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die vordere Matrix ist gerade - schau doch mal genau hin! Dann kannst du dir auch denken, was beim hinteren Teil rauskommen muss.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich den hinteren teil nach der ersten zeiler erneut entwickle steht:



aber beim vorderen teil seh ich irgendwie nicht die gesuchte determinante, bzw. den rest davon
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung:

Wenn ich dir jetzt schon gesagt habe, dass der erste Teil gerade ist und die obige Behauptung nach Annahme schon für bewiesen ist, was ist dann wohl ? Forum Kloppe


Übrigens ist die hintere Matrix eine -Matrix und keine -Matrix. Insbesondere ist dein Faktor falsch (sonst funktioniert der Beweis auch nicht).


EDIT: \prod durch \sum ersetzt
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Behauptung:


du meinst sicherlich:


damit der behauptung entspricht muss der hintere teil die determinante haben?!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war ein Tippfehler. Der hintere Teil entspricht ja auch .
Pilsner Auf diesen Beitrag antworten »

ist die aufgabe fertig gerechnet worden Big Laugh ?

kann bis jetzt noch folgen, mir sind bloß die schritte der induktion nicht klar ! vor allem der aufschrieb, ...

ich zeige für An und dann für An-1 oder?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Aufgabe ist im Prinzip fertig. Der Induktionsschluss war . Es fehlt noch der Induktionsanfang (trivial). Wenn jemand das Gesagte zusammenfassen möchte, lese ich es gerne nochmal durch.


Gruß, therisen
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »