drehung, fixpunktgleichung

28.12.2007, 15:33

marci_

drehung, fixpunktgleichung

hallo!

ich soll hier zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine drehung ist, indem ioch die drehachse und den drehwinkel bestimmen soll:
$\begin{eqnarray*} \alpha: u \to Au \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zur bestimmung der drehachse stelle ich die fixpunktgleichung auf:

Av=v
Av-v=0
(A-E_n)v=0

dann komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} v \end{eqnarray*}$

ist das nun schon die fixpunktgleichung?

für den drehwinkel berechne ich die Spur über addition der hauptdiagonalenelemente:

SpA=2

der winklel ergibt sich asu: $\begin{eqnarray*} Sp A= 2 cos \alpha +1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5=cos \alpha \end{eqnarray*}$

der drehwinkel ist 60°

stimmen meine ergegbnisse bzw. meine rechenschritte?

danke im vorraus, gruß marci

29.12.2007, 00:14

marci_

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ich will nicht pushen, aber kann ich die drehachse wie oben beschrieben/berechnet so stehen lassen?

29.12.2007, 00:28

therisen

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RE: drehung, fixpunktgleichung

Zitat:

Original von marci_
dann komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} v \end{eqnarray*}$

ist das nun schon die fixpunktgleichung?

Nein. Die Fixpunktgleichung lautet $\begin{eqnarray*} Av=v \end{eqnarray*}$ mit den Lösungsraum aufspannenden Vektor $\begin{eqnarray*} (1,1,1) \end{eqnarray*}$ . Der Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{\pi}3 \end{eqnarray*}$ stimmt.

Gruß, therisen

29.12.2007, 11:59

marci_

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wenn ich Av=v lösen will, geh ich da so vor:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 |x_1\\ 2 & 2 & -1|x_2 \\ -1 & 2 & 2 |x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann auflösen, oder wie kommst du auf (1,1,1) ?

29.12.2007, 12:02

therisen

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Du musst doch wissen, wie man ein lineares Gleichungssystem löst. Ich würde vorher vereinfachen zu $\begin{eqnarray*} (A-E)v=0 \end{eqnarray*}$ und dann Gauß anwenden.

29.12.2007, 12:18

marci_

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ja das weiß ich eigentlich auch, aber ich war zu doof, es richtig aufzuschreiben...

am ende des LGS bekomme ich raus: $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=t \end{eqnarray*}$

als geradengleichung: $\begin{eqnarray*} \vec {x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der (1,1,1) ist dann der lösungsraum aufspannende vektor!?

29.12.2007, 12:48

therisen

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Es ist einer von unendlich viel möglichen Vektoren Augenzwinkern

29.12.2007, 13:01

marci_

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gut alles klar, vielen dank!

04.01.2008, 14:36

Pilsner

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RE: drehung, fixpunktgleichung
Wie sieht das dann aus wenn meine affine Abbildung noch eine Translation enthält ?

Also: Av + s ?!

Sieht dann mein LGS folgendermaßen aus:

(A - En) * v + s = 0 ?

bringe ich dann s auf die andere Seite und habe dann ein inhomogens LGS ?!

Zeige ich durch auflösen eines LGS, ob eine Abbildung Av (+s) = v eine Drehung ist, wenn beim Lösen des LGS ein Parameter auftaucht, und somit eine Drehachse ?

Oder kann ich auch anders zeigen, dass eine affine Abbildung eine Drehung ist ?

Wenn drei verschiedene affinen Abbildungen mit unterschiedlichem Translationsanteil die gleiche Matrix A besitzt und eine der Abbildung ist eine Drehung, sind dann die anderen auch Drehung, ja oder?

besten Dank

Gruß

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