Hauptraumzerlegung

27.04.2005, 21:38	Knax	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptraumzerlegung Huhu, ich habe die folgende Martix gegeben und soll die Hauptraumzerlegung bestimmen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zunächst muß ich doch das charkteristische Polynom berechnen. Dafür erhalte ich $\begin{eqnarray} (T-1)^3 (T+1) \end{eqnarray}$ . So, wenn ich jetzt für den Wert $\begin{eqnarray} (T-1)^3 \end{eqnarray}$ weiterrechnen will bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich die obige Matrix plus oder minus einmal die Einheitsmatrix rechnen muß, bevor ich sie hoch drei rechne. Meiner Meinung nach muß ich die Matrix nur für T einsetzen, ich bin mir aber absolut nicht sicher. Danach muß ich dann doch nur noch ein homogenes Gleichungssystem lösen oder??? Könnte mir schnell jemand weiterhelfen? Danke
27.04.2005, 21:53	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
(T-1)³ liefert dir den (dreifachen) eigenwert +1 um den eigenraum (und hauptraum) zu berechnen musst du kern(A-EWI)=kern(A-1I) berechnen. A sei dabei deine matrix. mfg jochen
27.04.2005, 22:12	Knax	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist es doch richtig, dass wenn ich zunächst mit $\begin{eqnarray} (T-1)^3 \end{eqnarray}$ rechne die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bei der ich die Einheitsmatrix addiert habe hoch drei rechne und dan das homogene gls löse oder ??????????????????
27.04.2005, 22:55	Knax	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das hommogene gls dann gelöst habe hebe ich ja die eigenvektoren, meiner versuche nach sind das vier stück. was muß ich dann weiter machen? Wäre ganz nett, falls mir gerade mal jemand sagen könte ob das so stimmt, wollte die aufgabe nämlich heute noch zu ende bringen.
27.04.2005, 23:26	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm, das ganze verfahren sagt mir nichts. aber suchst du nur die eigenvektoren oder etwas anderes? die menge der eigenvektoren ist gleich der kern(A-EWI), wobei EW der eigenwert und A deine matrix ist. aber dafür brauchst du nicht den hauptraum? und insbesondere musst du diese matrix (A-EWI) nicht hoch 3 nehmen....

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