Polynom durch Integration herausfinden

29.12.2007, 15:08

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Polynom durch Integration herausfinden

Hi,
diese abgewandelte Variante der Funktionsuntersuchung hatte ich noch nie:

Ein Polynom dritten Grades $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ habe folgende Eigenschaften:

- $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ läuft durch den Ursprung

- $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hat ein Maximum bei $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hat einen Wendepunkt bei $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$

- Der Graph von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ schließt mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt 9 ein.

Wie lautet die Funktionsgleichung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax³ + bx² + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3ax² + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

Läuft durch den Ursprung:

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 + 0 + 0 + d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 0 \end{eqnarray*}$

Maximum bei x = 1:

$\begin{eqnarray*} f'(1) = 3a + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

Wendepunkt bei x = 2:

$\begin{eqnarray*} f''(2) = 12a + 2b = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6a + b = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{1 - b}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f'(1) = 3 * \frac{1-b}{6} + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{6} - \frac{3}{6}b + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} - \frac{1}{2}b + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}b + c = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = - \frac{3}{2}b - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Werte in die Funktion einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1-b}{6}x³ + bx² + (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}b) x² \end{eqnarray*}$

Nun würde ich die Stammfunktion bilden, aber leider kenne ich nicht die Grenzwerte!

Weiss jemand weiter?!

Liebe Grüße
MatheKind

29.12.2007, 15:18

Vieta

Auf diesen Beitrag antworten »

Du schreibst
$\begin{eqnarray*} f''(2) = 12a + 2b = 2 \end{eqnarray*}$

Das notwendige Kriterium für Wendepunkte lautet aber:
f''(x)=0

Ich hoffe ich konnte weiterhelfen
Frohes Neues

29.12.2007, 15:19

MI

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Polynom durch Integration herausfinden
Beim Wendepunkt bin ich nicht einverstanden. Wenn ich das Recht sehe, so haben wir doch bei x=2 einen Wendepunkt, d.h.
$\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \Rightarrow 12a+2b=0 \end{eqnarray*}$
Ansonsten würde ich Dir bei Deinen Ausführungen natürlich zustimmen.

Nun zu Deinem eigentlichen Problem. Richtig, du musst die Funktion, die Du hast, über x integrieren. Die Grenzen bekommst Du in der Aufgabenstellung indirekt mitgeliefert. Ich zitiere:

Zitat:

Der Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche von 9 ein

.

Was sind also die beiden Grenzen, bzw. welche besonderen Punkte der Kurve sind gesucht? Wie berechnest Du sie? Es braucht dich nicht zu irritieren, wenn die Grenzen Variablen enthalten.

Gruß
MI

EDIT: Bei deinem Fehler war Vieta schneller...

29.12.2007, 15:19

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum zweite Ableitung bei dem Wendepunkt =2 gesetzt?

29.12.2007, 17:09

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
danke, für eure Antworten! Das mit dem Wendepunkt war ein Leichtsinnsfehler...

Ich habe das nun folgendermaßen editiert:

Wendepunkt bei x = 2:

$\begin{eqnarray*} f''(2) = 12a + 2b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6a + b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = -\frac{1 }{6}b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f'(1) = 3 * - \frac{1}{6}b + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{3}{6}b + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2}b + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}b + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = - \frac{3}{2}b \end{eqnarray*}$

Die Werte in die Funktion einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{6}bx³ + bx² - \frac{3}{2}bx \end{eqnarray*}$

Stammfunktion bilden:

$\begin{eqnarray*} [- \frac{1}{24}bx^4 + \frac{1}{3}bx³ - \frac{3}{4}bx²] \end{eqnarray*}$

@ MI und andere:

Wie man jetzt die Grenzen angibt, bin ich absolut überfragt! unglücklich

unglücklich

Ich weiß nur, dass $\begin{eqnarray*} y >= 0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Aber ich weiss nicht, wie ich das umschreiben soll!

Liebe Grüße
MatheKind

29.12.2007, 17:25

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax(x-3)²=0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

edit: mit b= -6a und c= 9a

Anzeige

29.12.2007, 17:54

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi riwe!

Wink

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{6}bx³ + bx² - \frac{3}{2}bx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{6}bx³ + bx² - \frac{3}{2}bx = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*(-\frac{1}{6}bx² + bx - \frac{3}{2}b) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} bx² - 6bx + 3b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b*(x - 3)^2 \end{eqnarray*}$

Together we are strong! Prost

Prost

Frage:

Man könnte auch mit der pq-Formel arbeiten (
$\begin{eqnarray*} bx² - 6bx + 3b \end{eqnarray*}$ ), allerdings würde dann $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ als Variable erhalten bleiben. Wäre das dann egal, wenn man das als Integralsgrenze eingibt, da sich das dann am Ende automatisch rauskürzen würde?!

Liebe Grüße
MatheKind

29.12.2007, 19:10

MI

Auf diesen Beitrag antworten »

Da stimmt aber etwas in der Rechnung nicht. Und zwar hier (abgesehen davon, dass da wohl ein "=0" fehlt:

Zitat:

Original von MatheKind
$\begin{eqnarray*} x*(-\frac{1}{6}bx² + bx - \frac{3}{2}b) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} bx² - 6bx + 3b \end{eqnarray*}$

Und wenn du hier den Fehler behoben hast, dann MUSST du mit der p/q-Formel arbeiten, oder mit der sog. "quadratischen Ergänzung". Anders kannst Du die Werte nicht herausfinden.

Aber überlege noch einmal, ob die Grenzen dann WIRKLICH abhängig von b sind!

Gruß
MI

29.12.2007, 19:18

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MI
Da stimmt aber etwas in der Rechnung nicht. Und zwar hier (abgesehen davon, dass da wohl ein "=0" fehlt:

Zitat:

Original von MatheKind
$\begin{eqnarray*} x*(-\frac{1}{6}bx² + bx - \frac{3}{2}b) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} bx² - 6bx + 3b \end{eqnarray*}$

Und wenn du hier den Fehler behoben hast, dann MUSST du mit der p/q-Formel arbeiten, oder mit der sog. "quadratischen Ergänzung". Anders kannst Du die Werte nicht herausfinden.

Aber überlege noch einmal, ob die Grenzen dann WIRKLICH abhängig von b sind!

Außer, dass ein hoch Zwei bei der Klammer gefehlt (hier: $\begin{eqnarray*} b*(x - 3)^2 \end{eqnarray*}$ ) hat (habe es jetzt editiert), fällt mir nichts auf. Ich bin mit meiner Rechnung auf dasselbe Ergebnis wie riwe gekommen. Was ist also daran falsch?!

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = 3 \end{eqnarray*}$ , oder nicht?!

Liebe Grüße
MatheKind

29.12.2007, 19:24

MI

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann rechne ich mal vor:
$\begin{eqnarray*} x*(-\frac{1}{6}bx^2 + bx - \frac{3}{2}b) = 0 \\ \Leftrightarrow~~ -\frac{1}{6}bx^2+bx-\frac{3}{2}b=0 \\ \Leftrightarrow~~ 6\cdot \frac{1}{6}bx^2-6\cdot bx+6\cdot \frac{3}{2}b=0 \\ \Leftrightarrow~~ bx^2-6bx+9b=0 \end{eqnarray*}$
Eine Nullstelle ist übrigens x=0, wie man dabei festgestellt hat.

Fehler entdeckt?

29.12.2007, 19:30

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MI
Dann rechne ich mal vor:
$\begin{eqnarray*} x*(-\frac{1}{6}bx^2 + bx - \frac{3}{2}b) = 0 \\ \Leftrightarrow~~ -\frac{1}{6}bx^2+bx-\frac{3}{2}b=0 \\ \Leftrightarrow~~ 6\cdot \frac{1}{6}bx^2-6\cdot bx+6\cdot \frac{3}{2}b=0 \\ \Leftrightarrow~~ bx^2-6bx+9b=0 \end{eqnarray*}$
Eine Nullstelle ist übrigens x=0, wie man dabei festgestellt hat.

Fehler entdeckt?

und wo ist jetzt der unterschied verwirrt

verwirrt

zu $\begin{eqnarray*} f(x)= ax(x-3)²=0 \end{eqnarray*}$ außer a <=> b Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x_1=0\quad{ }x_{2,3}=3 \end{eqnarray*}$ wie gehabt

und ein obligates bilderl dazu

29.12.2007, 19:54

MI

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt

Hammer

einen Unterschied macht das nicht (ich sollte wohl vor dem Antworten meine Kopfschmerzen auskurieren...) - dennoch, ein Rechenfehler war's, weil im letzten Term nur eine "3b" stand - der wurde dann aber durch einen erneuten Rechenfehler bei der Bildung der binom. Formel wieder ausgeglichen...

Danke für die Korrektur, riwe.

@MatheKind: Jetzt hast du deine Grenzen - kommst du nun allein weiter?

Gruß
MI

29.12.2007, 20:13

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MI
Stimmt Hammer

Hammer

einen Unterschied macht das nicht (ich sollte wohl vor dem Antworten meine Kopfschmerzen auskurieren...) - dennoch, ein Rechenfehler war's, weil im letzten Term nur eine "3b" stand - der wurde dann aber durch einen erneuten Rechenfehler bei der Bildung der binom. Formel wieder ausgeglichen...

Danke für die Korrektur, riwe.

@MatheKind: Jetzt hast du deine Grenzen - kommst du nun allein weiter?

Gruß
MI

aber davon Hammer

Hammer

werden sie doch nicht besser unglücklich

unglücklich

ich wünsche dir gute besserung,
sonst wird es nix mit dem feiern Prost

Prost

29.12.2007, 20:30

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

@ MI: Du hast Recht. Ich habe $\begin{eqnarray*} 3b \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 9b \end{eqnarray*}$ geschrieben. Ich hatte es falsch vom Papier abgeschrieben. Bei der nächsten Zeile hatte ich dann wieder richtig abgeschrieben.

So habe ich weitergemacht:

Stammfunktion bilden:

$\begin{eqnarray*} [- \frac{1}{24}bx^4 + \frac{1}{3}bx³ - \frac{3}{4}bx²] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{24}b*3^4 + \frac{1}{3}b*3^3 - \frac{3}{4}b*3^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{81}{24}b + 9b - \frac{27}{4}b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{81}{24}b + \frac{216}{24}b - \frac{162}{24}b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid - \frac{27}{24}b \mid \end{eqnarray*}$

Nun mit dem Inhaltswert 9 gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{27}{24}b = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 8 \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} a = - \frac{b}{6}b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = - \frac{b}{6} * 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = - \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = - \frac{3}{2}b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = - \frac{3}{2} * 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = - 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = - \frac{4}{3}x³ + 8x² - 12x \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?!

Liebe Grüße
MatheKind

29.12.2007, 20:38

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a=+\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

29.12.2007, 20:41

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi riwe!

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} a=+\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich hier einen Fehler gemacht:

Zitat:

Wendepunkt bei x = 2:

$\begin{eqnarray*} f''(2) = 12a + 2b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6a + b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = -\frac{1 }{6}b \end{eqnarray*}$

Sieht mir aber korrekt aus.

Liebe Grüße
MatheKind

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »