Konvergenz (gegen 0) einer Folge zeigen

28.04.2005, 10:37

Jasi

Konvergenz (gegen 0) einer Folge zeigen

Hallo!

Im Rahmen von "Mathematik für Informatiker II" habe ich folgende Aufgabe zu lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left\vert x\right\vert <1 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty }n^{k}x^{n}=0 \end{eqnarray*}$ .

Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

Vielen Dank!

Herzlichst,

Jasmin

28.04.2005, 17:11

Crotaphytus

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Substituier einfach mal $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ dann hast du als Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{n^k}{y^n} \end{eqnarray*}$

Ich denke, da dürfts dann einfacher zu sehen sein... Zumindest wenn ihr L´Hospital schon gehabt habt... Augenzwinkern

28.04.2005, 17:30

Jasi

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Danke

Problem ist...L'Hospital kommt erst später...mit anderen Worten, ich sollte es besser mit anderen Mitteln zeigen...wir haben bis jetzt nur Eigenschaften von reellen Zahlen (Anordnung, Vollständigkeit etc.) gehabt und nun Folgen und Reihen...(stetige) Funktionen und das ganze Zeug kommt später...wir hatten so Konvergenzkriterien für Folgen und Reihen bis jetzt...die Aufgabenstellung war als reelle Folge $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gemeint, nicht als reelle Funktion...also $\begin{eqnarray*} a_{n}:=n^{k}x^{n} \end{eqnarray*}$ .

28.04.2005, 17:34

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Der Sonderfall x=0 ist trivial, sei also x ungleich Null. Setze $\begin{eqnarray*} a_n:=n^kx^n \end{eqnarray*}$ und untersuche das Verhalten des Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ für große n.

28.04.2005, 17:37

Jasi

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Hmm...ich schau mal rein...mal schauen, ob mir was einfällt...

28.04.2005, 17:51

Crotaphytus

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Hm... Da fällt mir ein, ich durft auch mal so ne Aufgabe rechnen... Hab die damals gehasst, ewig den Kopf zerbrochen und es is nix bei rausgekommen... Das Ergebnis war dann ne Lösung mit L'Hospital und n Streit mit dem Übungsgruppenleiter über das Thema "dämliche Aufgaben"... Augenzwinkern

Na ja, hatte n humanen Prof, der statt den sonst wohl üblichen 30-40%, die richtig sein müssen, nur verlangt, dass man 80% bearbeiten soll. Und n ziemlich gutes Verhältnis zum (man beachte, da steht zum, nicht mitm... Augenzwinkern

) Übungsleiter...

Kann dir aber leider nicht mehr wirklich sagen, wie die sich das dann vorgestellt hätten, ich hab die Aufgabe wohl ganz schnell wieder verdrängt, und die Lösung schein ich auch nicht mitgeschrieben zu haben...

PS: Weil ich grad "Mathe für Informatiker" les - darf man fragen, was ihr grad so in Info macht? Aber wahrscheinlich werden das die Mods wohl nicht so gern sehen... Hm, vielleicht eher hier? Augenzwinkern

28.04.2005, 17:54

Jasi

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Mir geht's oft so mit den Aufgaben, dass ich selbst nicht auf die Lösungen/Beweise komme, sie aber dann wohl nachvollziehen kann, wenn ich sie vor die Nase gesetzt bekomme...bei dieser hier wird das wohl genauso laufen...

Zu Deiner anderen Frage: Habe dazu im Moment nicht viel beizutragen, mache im Moment nur diesen Mathekurs, das ist schon schlimm genug...dachte auch die Themen im Grundstudium in Informatik sind mehr oder weniger überall gleich!? Naja, egal...

Zitat:

Original von Arthur Dent
Der Sonderfall x=0 ist trivial, sei also x ungleich Null. Setze $\begin{eqnarray*} a_n:=n^kx^n \end{eqnarray*}$ und untersuche das Verhalten des Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ für große n.

Grrr......mir fällt nichts ein unglücklich

Kleiner Tip noch? Augenzwinkern

Habe jetzt lange rumgerechnet und nichts erreicht unglücklich

Mit Monotonie wird's ja wohl auch nichts, da für negative x die Folge nie monoton ist, da genau jedes zweite Folgeglied negativ...oder evtl. mit Betrag?

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

28.04.2005, 18:39

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An der Quotientendarstellung und unter Benutzung von |x|<1 kann man ablesen, dass dieser Quotient für genügend große n betragsmäßig kleiner als 1 wird. Mehr noch, betragsmäßig kleiner als q wird, wobei q eine gewisse, noch zu wählende reelle Zahl 0<q<1 ist. Und dann sage ich nur noch das Stichwort geometrische Folge.

28.04.2005, 18:51

Jasi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
An der Quotientendarstellung und unter Benutzung von |x|<1 kann man ablesen, dass dieser Quotient für genügend große n betragsmäßig kleiner als 1 wird. Mehr noch, betragsmäßig kleiner als q wird, wobei q eine gewisse, noch zu wählende reelle Zahl 0<q<1 ist. Und dann sage ich nur noch das Stichwort geometrische Folge.

Hmm...also das $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ hier wegen |x|<1 gegen 0 geht ist soweit klar...aber wie kann man ablesen, dass der Quotient betragsmässig kleiner 1 wird und wieso brauchen wir noch ein q...!?

Ich kann mir die Folge prima vorstellen und es ist anschaulich klar, dass sie gegen 0 geht...wir müssen doch irgendwie zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ der Betrag des Quotienten < 1 ist oder nicht? Das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ hängt dann noch von k und x ab...oder sowas...hmm...kein Plan...hmm...oder reicht der Betrag gar nicht aus!? Bin verwirrt...

28.04.2005, 18:56

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Schreiben wir doch erstmal den betragsmäßigen Quotienten hin:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(n+1)^kx^{n+1}}{n^kx^n}\right|=\left(1+\frac{1}{n}\right)^k\cdot|x| \end{eqnarray*}$

Der linke Faktor dieses Produkts strebt für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen Eins, der rechte (also |x|) ist konstant, und kleiner als Eins.

EDIT: Schreibfehler korrigiert (x^n statt x^k im Nenner)

28.04.2005, 19:04

Jasi

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Hmm...mit der Umformung bin ich zunächst mal überfordert...aber das kann ich mal versuchen nachzurechnen, wird schon richtig sein Augenzwinkern

[nicht wegen Schreibfehler, das war klar]

Davon abgesehen haben wir jetzt damit also gezeigt, dass der Betrag des Quotienten (Folgeglied durch vorheriges Folgeglied) für n gegen unendlich < 1 ist...aber was genau sagt uns das...für negative x z. B. ist jedes 2. Folgeglied negativ und die Folge nicht monoton...der Betrag ist es schon, aber was nützt uns das?

28.04.2005, 19:06

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Wenn die Folge der Beträge gegen Null konvergiert, dann trifft das für die eigentliche Folge auch zu - das sollte klar sein!

28.04.2005, 19:10

Jasi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn die Folge der Beträge gegen Null konvergiert, dann trifft das für die eigentliche Folge auch zu - das sollte klar sein!

Müsste man bei uns sicher wenigstens mit einem Nebensatz irgendwie beweisen oder erklären...ich überleg gerade noch wie ich das alles hinschreibe...muss bei uns immer alles richtig klar sein...dass halt ab einem gewissen n der Quotient so gilt...bzw. so konvergiert wie du gesagt hast...ich versuch's erstmal...vielen Dank!

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