Beweis einer Ungleichung mit Induktion

28.04.2005, 12:21

ellocko

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Beweis einer Ungleichung mit Induktion

Hab mit folgender Aufgabe eine Problem:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung gilt immer, dass weiß ich aber der Beweis ist mein Problem. Sollen Induktion verwenden, aber bei ner Ungleichung is das immer so ne Sache...

Bin für jede Hilfe dankbar.

28.04.2005, 12:53

klarsoweit

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RE: Beweis einer Ungleichung mit Induktion
Wieso soll das bei einer Ungleichung schwieriger sein? Fang mal mit dem Beweis an und wenn es klemmt, dann schauen wir nochmal drauf.

28.04.2005, 13:13

ellocko

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War meine persönliche, subjektive Meinung...

Also, für n=1 gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{ \sqrt{k}} < 2\sqrt{1} = 1 < 2 \end{eqnarray*}$

Und für n+1 gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt doch: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k}}\end{pmatrix}+ (n+1) < 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich aber nicht weiter...

28.04.2005, 13:20

jovi

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Zitat:

Und für n+1 gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Das gilt (noch) nicht - das sollst Du ja gerade zeigen !

Zitat:

Daraus folgt doch: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k}}\end{pmatrix}+ (n+1) < 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Und das ist sicher falsch - wie kommst Du darauf ?

28.04.2005, 13:21

klarsoweit

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Ich glaube, du mußt dich nochmal mit dem Prinzip der vollständigen Induktion beschäftigen.
Also Induktionsanfang ist richtig.
Jetzt der Induktionsschritt. Du mußt beweisen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
Für diesen Schritt darfst du verwenden, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
Typischerweise spaltet man dafür von dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ den letzten Summanden ab und verwendet dann die Induktionsvorausstzung.

28.04.2005, 13:51

ellocko

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Der letzte Summand wäre doch dann die 1 nach dem oder?

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28.04.2005, 13:53

ellocko

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... nach dem n oder?

28.04.2005, 13:58

jovi

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Der letzte Summand ist in diesem Fall der (n+1) te also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

28.04.2005, 14:36

ellocko

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I.V.: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~ \frac{1}{ \sqrt{k}} < 2\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
I.S.: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{ \sqrt{k}} < 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{ \sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} < 2\sqrt{n} + (n+1) \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

28.04.2005, 14:39

klarsoweit

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Wie um alles in der Welt kommst du von
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n} + (n+1) \end{eqnarray*}$
??? verwirrt

verwirrt

Die linke Seite stimmt ansonsten. Aber der Beweis ist damit nicht fertig.

28.04.2005, 14:45

ellocko

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Ja, sie haben recht. Ich hab etwas in einem Buch gelesen und da hab ich etwas falsch verstanden... Hab erst daraus entnommen, dass man die linke Seite der I.V. einsetzten mus und dann noch das n+1 addiert. so kommt man auf solchen ausdrücke. Die linke Seite bleibt bei 2 mal Wurzel aus n+1, richtig?

28.04.2005, 14:55

Egal

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{ \sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} < 2\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

Das hat man nach Anwendung der Induktionsvorraussetzung was du jetzt noch zeigen musst ist das:
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
gilt dann hast du einen vollständigen Beweis.

28.04.2005, 14:58

ellocko

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{ \sqrt{n+1}}< 2\sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

das hab ich jetzt...

28.04.2005, 15:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von ellocko
Die linke Seite bleibt bei 2 mal Wurzel aus n+1, richtig?

Also wenn, dann die rechte Seite.
Wie egal schon sagte, mußt du nun zeigen, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1}} <= 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
Ich würde erstmal beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

28.04.2005, 17:21

ellocko

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$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1}}\leq 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ | *\sqrt{n+1}

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n}*\sqrt{n+1}+1\leq 2\sqrt{n+1}*\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ | /2

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}*\sqrt{n+1}+\frac{1}{2}\leq \sqrt{n+1}*\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)}+\frac{1}{2} \leq n+1 \end{eqnarray*}$

und nun? wenn ich jetzt noch weiter rechne, dann kommt raus n < 1/4 macht kein Sinn, oder? verwirrt

verwirrt

28.04.2005, 17:51

AD

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Zitat:

Original von ellocko
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)}+\frac{1}{2} \leq n+1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin alles richtig. Freude

Freude

Zitat:

Original von ellocko
und nun? wenn ich jetzt noch weiter rechne, dann kommt raus n < 1/4 macht kein Sinn, oder? verwirrt

verwirrt

Ich empfehle nochmal nachzurechnen! geschockt

geschockt

29.04.2005, 08:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von ellocko
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n}*\sqrt{n+1}+1\leq 2\sqrt{n+1}*\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ | /2

Die Division durch 2 ist nicht hilfreich. Ich würde so weitermachen:
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1} + 1 \leq 2n + 2 \end{eqnarray*}$
Jetzt alles auf die rechte Seite und binomische Formel anwenden.

29.04.2005, 10:22

gargyl

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Ich hab das so umgestellt :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)} + \frac{1}{2} \leq n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)} \leq n + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)} \leq \sqrt{(n+\frac{1}{2} )^{2}} \end{eqnarray*}$

02.05.2005, 12:27

ellocko

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Habe jetzt als letzte Zeile:

$\begin{eqnarray*} 4n^2+4n\leq 4n^2+4n+1 \end{eqnarray*}$

Das sieht doch schon gut aus, oder?

02.05.2005, 12:42

klarsoweit

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Quadrieren war unnötig, geht aber auch. Jetzt alles auf die rechte Seite und siehe da... Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.05.2005, 12:44

ellocko

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dann kommt 0<1 raus.

02.05.2005, 13:14

klarsoweit

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Also kommt nach längerer Rechnung eine wahre Aussage raus. Damit wäre der Induktionsschritt bewiesen. Fertisch. Freude

Freude

02.05.2005, 13:16

ellocko

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Yippie... Das war ja ne schwere Geburt, obwohl gar nicht so schwer, wenn man sie fertich at. :-)

Ich danke alle, die mir Tipps gegeben haben und sich mit der Aufgabe beschäftigt haben.

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