Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuchen

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Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuchen
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Untersuche die folgenden Vektoren auf lineare Unabhängigkeit.

1)

, ,

2)

, ,

Das ist neu für mich, da ich Vektoren noch nie auf lineare Unabhängigkeit untersuchen musste.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, ich vermute nicht, dass du determinanten kennst, also anders:

weißt du, was die definition für lineare (un)abhängigkeit ist?
stichwort: linearkombination des nullvektors

mfg jochen
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das so definiert:

Drei Vektoren , , heißen linear abhängig, wenn mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.
(Die drei Vektoren heißen dann komplanar).

Kann damit aber irgendwie nicht viel anfangen. Wie lautet denn die Definition von lineare Unabhängigkeit?

Ich glaube auch, dass man 0 die triviale Lösung nennt, und das wir nicht nach 0 als Lösung suchen sollen, sondern auch nach anderen Lösungen.
Was auch immer das bedeutet. Ich hab nämlich keine Ahnung was hier gelöst werden soll verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das problem an der aussage "einer ist aus den anderen lin.komb" ist, dass du auch einvektorige mengen auf lineare (un)abhängigkeit testen kannst.
und {0} ist linear abhängig, obwohl ja kein vektor aus den anderen 8denn: welche anderen?) linkomb werden kann......

also brauchen wir eine exaktere definition.
betrachte die vektormenge {a,b,c} auf ihre lin. (unabhängigkeit)

sei nun z.b. a=2b+3c, also die menge linear abhängig.
dann kannst du das ja umformen zu a-2b-3c=0 (nullvektor)

aus dieser idee gewinnen wir eine neue bessere definition von linearer (un)abhängigkeit.
wir versuchen den nullvektor linearzukombinieren, dazu seien x,y,z skalare aus IR.
wir suchen also lösungen von x*a+y*b+z*c=0 (a,b,c,0 sind vektoren!)

nun gilt: ist obige vektorgleichung nur trivial (x=y=z=0) lösbar, so sind {a,b,c} linear unabhängig (beachte, diese lösung gibt es IMMER!). gibt es eine weitere nichttriviale lösung, so ist die menge linear abhängig.

soweit verstanden?
dann stelle mal ein LGS auf nach den 3 komponenten deiner vektoren....
Jan Auf diesen Beitrag antworten »

3 Vektoren heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung nur die triviale Lösung hat.
Das heißt zum Überprüfen: Du stellst diese Gleichung auf, suchst nach Lösungen, und wenn du außer (0|0|0) noch andere findest, dann sind die Vektoren linear abhängig, sonst sind sie halt unabhängig.

Gruß,
Jan
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

r + s + t =

so?
und was mach ich nun?
wie soll ich das denn auf andere Lösungen überprüfen, wenn ich da schon die triviale Lösung angegeben habe?
 
 
Jan Auf diesen Beitrag antworten »

3 Zeilen, 3 Gleichungen, 3 Unbekannte

Ausrechnen!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sagt dir denn gaussalgorithmus etwas?
oder ein anderes lösungsverfahren von linearen gleichungssystemen?
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab schon mal gleichungssysteme gelöst, allerdings kriege ich dieses nicht hin traurig

ich hab es glaub ich total umständlich versucht zu lösen und bin so weit gekommen:

-20r - 20t = 0
-4s + 4t = 0
-4*t = 0

ich weiß aber nicht was das bringen soll. da kann doch nur 0 rauskommen? wie löse ich denn die aufgabe nun?
der_eimer Auf diesen Beitrag antworten »

ich gehe mal davon aus das deine brechnung soweit stimmt:

du hast in der letzten zeile doch stehen: -4*t = 0

somit hast du t = 0

jetzt setzt du noch t in die anderen gleichungen ein und erhälst so ein ergebnis.


alternativ kannst du auch schauen,ob ein vektor ein vielfacher des anderen vektors ist. wenn dies zutrifft, sind sie linear abhängig
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

dann kommt für r, s und t 0 raus. richtig?

wie müssten denn die endgleichungen z.B. lauten damit man eine andere lösung als 0 bekommt?
ich kann mir nämlich nicht vorstellen, dass bei sowas etwas anderes als 0 rauskommen kann
der_eimer Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du z.B. hast:

r + 4s + 2t = 0
2r - 4t = 0
-3r + s + 7t = 0

dann erhälst du (ober zeile *2 bzw. *3)

r + 4s + 2t = 0
- 8s - 8t = 0
13s + 13t = 0

das widerum ist:

r + 4s + 2t = 0
s + t = 0
0 = 0

--> damit hat das LGS unendlich viele Lösungen
---> vektoren sind linear abhängig

du kannst ja mal s=2 setzen...
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

-4*t = 0
hier kommt doch eigentlich auch 0=0 raus. verwirrt
man muss doch 0 für t einsetzen, damit -4*0 gleich 0 ergibt.
ach, ich bin viel zu dumm für mathe traurig
würde mich auch wundern, wenn ich das gleichungssystem oben überhaupt richtig gelöst hätte.
der_eimer Auf diesen Beitrag antworten »

quatsch..pass auf..is eigentlich ganz einfach...;-)


-4*t = 0 \ : -4
t = 0

du willst ja den wert der variablen ausrechnen. d.h. du darfst denen nicht schon vorher einen wert geben.
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

okay, aber wie kommt man da auf 0=0 ?

r + 4s + 2t = 0
- 8s - 8t = 0
13s + 13t = 0

das widerum ist:

r + 4s + 2t = 0
s + t = 0
0 = 0


bei der dritten gleichung müsste doch genauso wie bei der 2. gleichung s+t = 0 rauskommen, wenn man das durch 13 teilt.


und was kommt bei meiner zweiten aufgabe raus?

3r + 7s + 10t = 0
6s + 6t = 0
-1r + 1s = 0 /*3

3r + 7s + 10t = 0 / I + II Gleichung
6s + 6t = 0
-3r + 3s = 0

10s + 10t = 0 /:10
6s + 6t = 0 /:6
-3r + 3s = 0

s+t = 0
s+t = 0
-3r + 3s = 0


hättest du das gleichungssystem genauso gelöst oder anders?
wie rechnet man das zu ende?
der_eimer Auf diesen Beitrag antworten »

r + 4s + 2t = 0
- 8s - 8t = 0 \ *13
13s + 13t = 0 \* 8

dann
löst sich die ltzte zeile auf weil: 104s - 104s = 0 ; mit t dasselbe.

die mittlere gleichung wird einfach durch -8 geteilt , musst allerdings nich machen, sieht nur besser aus und ist leichter zu rechnen.


bei deiner aufgabe bekomm ich etwas anderes raus...

versuchs nochma zu rechnen, tausch grad die erste und 2. zeile , dann wirds vll einfacher...

3r + 7s + 10t bleibt unverändert... als kleiner tipp..;-)
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm...ich hab ein wenig rumprobiert, bin aber zu keinem ergebnis gekommen verwirrt
der_eimer Auf diesen Beitrag antworten »

also:
du hast
3r + 7s + 10t = 0
6s + 6t = 0
-1r + 1s = 0 /*3

3r + 7s + 10t = 0 / I + III Gleichung
6s + 6t = 0
-3r + 3s = 0

damit veränderst du die erste zeile allerdings NICHT!
d.h.
3r + 7s + 10t = 0
6s + 6t = 0
10s + 10t = 0

probiers vll. jetzt nochmal...
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

3r + 7s + 10t = 0
6s + 6t = 0 /*(-10)
10s + 10t = 0 /*6

3r + 7s + 10t = 0
0 = 0
0 = 0


hmmm...sieht aber blöd aus, wenn man das so schreibt.
wie schreibt man das ergebnis denn richtig hin?

und welche rechenbefehle hätte ich oben geben müssen, damit man
s+t = 0 schreiben kann?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
3r + 7s + 10t = 0
6s + 6t = 0 /*(-10)
10s + 10t = 0 /*6

3r + 7s + 10t = 0
0 = 0
0 = 0


beide gleichungen dürfen hier nicht verschwinden!
mach das noch mal richtig!
du kannst die gleichungen erweitern zu
"1. gleichung"
30s+30t=0
-30s-30t=0

nun kannst du die 2. auf die dritte addieren oder umgekehrt!
aber da du einen schritt nach dem anderen machen musst, kannst du sie nicht gleichzeitig übe kreuz addieren oder so.
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