Kleines aber feines Zahlenrätsel [gelöst] |
| 26.02.2004, 23:32 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kleines aber feines Zahlenrätsel [gelöst] |
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| 26.02.2004, 23:52 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kleines aber feines Zahlenrätsel 1638 |
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| 26.02.2004, 23:55 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2*3*3*7*13 = 1638 Wie kommst du da auf 41 Teiler? Und wie sind hier die Teiler überhaupt definiert? Anzahl Primfaktoren? Gruß, Thomas |
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| 26.02.2004, 23:57 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja ich vermute diese Zahl, weil da sind ja noch ein paar mehr Teiler ne was ist denn zum beispiel mit 1638 :2 = 819 das ist ja auch ein teiler oder? Naja der MArcyman kann meine Aussage ja erst mal verifizieren oder falsifizieren... warten wir mal ab |
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| 27.02.2004, 00:06 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Teiler sind nicht nur die Primfaktoren. |
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| 27.02.2004, 00:07 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann aber alle möglichen Kombinationen (Produkte) der Primfaktoren 
Oder?Gruß, Thomas |
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| 27.02.2004, 00:08 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Z=1* 2* 3* 5* 7* 11* 13* 17* 19* 23* 29* 31* 37* 41* 43* 47* 53* 59* 61* 67* 71* 73* 79* 83* 89* 97* 101* 103* 107* 109* 113* 127* 131* 137* 139* 149* 151* 157* 163* 167* 173 oder falls die 1 nicht mitzählt Z=1* 2* 3* 5* 7* 11* 13* 17* 19* 23* 29* 31* 37* 41* 43* 47* 53* 59* 61* 67* 71* 73* 79* 83* 89* 97* 101* 103* 107* 109* 113* 127* 131* 137* 139* 149* 151* 157* 163* 167* 173* 179 Ich denke das sollten die beiden kleinst möglichen Zahlen sein, die 41 als Teiler enthalten und insgesamt genau 41 VERSCHIEDENE Teiler ... EDIT: Ist riesig FALSCH !! ... |
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| 27.02.2004, 00:08 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich beachtet 
@Thomas |
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| 27.02.2004, 00:10 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Poff hat auch mit Primfaktoren gerechnet 
Schreib doch dann mal alle Kombinationen auf oder begründe deine Lösung offensichtlich
Gruß, Thomas |
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| 27.02.2004, 00:15 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich bin wie folgt dran gegangen Man nehme erst mal die 41 selber Die ist ja ne Primzahl Nun kommt die 82 Davon sind 1,2,41,82 Teiler Mehr halt nicht Nimmt man nun die 123, dann kommt die 123 dazu und alle kombinationen der Faktoren die vorher schon drin waren Also 1*2 =2 2*41=82 1*82=82 Naja und die sind ja schon in denen davor drinne Also (41-2)*41 =1599 Ups keine Ahnung wieso ich vorher 39*42 gerechnet habe... naja so sieht mein Lösungsansatz aus. |
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| 27.02.2004, 00:17 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann der Marcyman leider nicht, weil er selber die Antwort gerne wissen würde. Bin nur soweit (mit Hilfe von Gilga aus #mathe), dass die Zahl einmal ein vielfaches von 41 sein muss (logisch) und außerdem noch wegen der ungeraden Anzahl an Teilern eine Quadratzahl sein muss. (Erklärung: Zu jedem Teiler t einer Zahl z findet man ein anderen Teiler, nämlich t/z. Ungerade Anzahl an Teilern heißt für die Zahl z, dass es ein Teiler t gibt, sodass t=t/z also z=t^2) Nach dieser Überlegung kann's die 1638 nicht sein... Achso, 1 ist natürlich auch Teiler. |
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| 27.02.2004, 00:35 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Marcyman was du hier schreibst ist leider nicht ganz PRÄZISE z.B.: sodass t=t/z also z=t^2) ??? oder: (Erklärung: Zu jedem Teiler t einer Zahl z findet man ein anderen Teiler, nämlich t/z ??? Gut 1 ist Teiler ist schon mal geklärt. Wie ist's muss die Zahl möglichst klein ausfallen ?? Scheinbar dürfen die Teiler auch mehrfach vorkommen, nur dann kanns fast keine eindeutige Lösung mehr geben |
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| 27.02.2004, 01:15 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommst du darauf? Primfaktoren <> Teiler
Wenn man eine Zahl hat, z.B. 2 * 3 * 5 = 30, dann hat diese Zahl folgende Teiler: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 das sind 8 Stück
Und jetzt muss man halt eine solche Zahl finden... das mit der Quadratzahl für eine ungerade Anzahl an Teiler versteh ich noch nicht...
mfg |
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| 27.02.2004, 01:25 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zum ersten: Tippfehler: es gibt mindestens ein Teiler t mit t = z/t , daraus folgt dann, t^2=z Zum zweiten: Wenn die Zahl z den Teiler t hat, heißt das : z=k*t. Das heißt aber z/k=t und damit ist auch k Teiler. Und da k=z/t, folgt was ich geschrieben hab. Gibts ne Regel zum Teilerverhalten von Quadratzahlen? Also eine müsste sein: ist z= a^b dann hat z b+1 Teiler, nämlich a^0, a^1,...,a^b (b muss gerade sein, sonst wäre z keine Quadratzahl) Dann müsste es noch ne Regel geben falls z=a^b*c^b (z.B. sind 36=2^2*3^2 und 100=2^2*5^2 solche Zahlen und haben jeweils 5 Teiler) oder z=a^b*c^d wobei wieder b und d gerade sein müssen usw. Hier könnte Kombinatorik noch ne Rolle spielen... Mh ich überleg mal morgen weiter... was meint ihr? |
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| 27.02.2004, 01:48 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
http://matheboard.de/thread.php?&postid=20719#post20719 Das war ein Schnellschuss und leider Unsinn, *gg* mit anderen Worten ist total falsch, wie 'Ben' schon richtig angemerkt hat ... nachtrag: Z=41^40 hat genau 41 Teiler. Ob's nun noch ne kleinere Zahl gibt für die das ebenfalls zutrifft, keine Ahnung, aber viel Möglichkeiten dazu bleiben nicht. Vermute fast nein, werds evtl jetzt noch checken :-/ ... edit by kontri: bitte keine Doppelposts wenn möglich Danke |
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| 27.02.2004, 11:28 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist mein Eintrag denn auch Blödsinn mit den 39*41 = 1599 ... ich wüsste im Moment nicht was dagegen spricht... |
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| 27.02.2004, 14:33 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Als Alternativen dazu habe ich geprüft sämtliche in Frage kommenden Kombinationen der Form (a, b, c, d sind prim, verschieden und >=2) (a*a)^n * (b*b)^k (a*a)^n * (b*b)^k * (c*c)^i sowie noch a² * b² * c² * d² Alle diese Varianten scheiden aus, da sie entweder zu wenige, oder aber gleich zu viele Lösungen haben, jedenfalls keine passende. So fällt (a*a)^n *( b*b)^k z.B. ab n=7 raus (a*a)^7 *( b*b) liefert z.B. 45 Teiler (a*a)^6 * (b*b) liefert 39 Teiler (a*a)^4 * (b*b) liefert 33 Teiler Sehr ähnlich sieht es mit all den anderen Kombinationen aus ... a² * b²* c² * d² liefert schon in dieser Minimal-Kombination 81 Teiler es ist klar, dass andere Varianten dieser ViererKombi nur noch mehr Lösungen liefern können, damit scheiden alle Vierer und alle Weiteren aus. Dass die darüber hinausgehenden Kombinationen nicht mehr in Frage kommen dürften sollte klar sein und andere Kombi's gibt es keine. Für das stumpfsinnige abchecken all dieser Kombi's OHNE kluges Nachsinnen hab ich nun 'erstmalig' auch den Rechner eingesetzt, da es mich sonst zuviel meines kostbaren Gehirnschmalzes gekostet hätte. Da ich das zudem noch etwas lasch angegangen bin, wäre auch ein Fehlerchen noch denkbar, erscheint mir aber sehr unwahrscheinlich schon anhand der Art der Ergebnisse die da rausgelaufen sind. Damit bleibt als einzig mögliche Lösung Z = 41^40 über ...
natürlich hab ich dazu was EIGENES programmiert (in einer ursimplen Programmiersprache) und nicht irgend ein fertiges FIX und FOXI benutzt ... |
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| 27.02.2004, 14:53 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habe meine Version nochmal überprüft und komme auf das Ergebnis, das mein ERgebnis ein falsches ERgebnis ist
weil das 4fache von 41 bekommt die 4 als zusätzlichen Teiler hinzu und nicht nur sich selber. Werde es trotzdem von dem Prinzip noch mal durchgehen... |
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| 27.02.2004, 14:56 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1599 kann aber schlecht 41 Teiler haben. Primfaktorzerlegung ergibt 1599=3*13*41 und man sieht leicht, dass es da nur (3 über 2)*2+2= 8 Teiler gibt: 1,1599,3,533,13,123,41,39 41^40 erscheint mir richtig, bin da auch heute mit anderen Leuten draufgekommen. Allgemein gilt ja tatsächlich ist z=a^b , dann hat z b+1 Teiler. Da b+1=41 sein soll, muss b schon mal 40 sein. Da z durch 41 teilbar sein soll, muss a=41 sein, zumindest ist das die einfachste Lösung. |
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| 27.02.2004, 15:36 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jo gebe mich geschlagen...ganz dicke Gedankenfehler meinerseits.sry Rätsel ist nicht ganz meine Sache 
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| 27.02.2004, 16:01 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Die Lösung Grad wollte ich auch anfangen, einfach alle Werte durchzuprobieren, um vielleicht eine kleinere Lösung als 41^40 zu finden (diese Zahl hat 65 Stellen!), aber dann erinnerte mich die Forderung "hat genau x Teiler" an die so genannte "Teiler-Funktion tau", die angibt, wieviele Teiler eine natürliche Zahl hat. Wie schon gesagt wurde, ist für jede Primzahl p die Teileranzahl von p^n, also tau(p^n), gleich n+1. Außerdem ist aber für teilerfremde Zahlen x, y die Teileranzahl von xy aus der Teileranzahl von x und von y berechenbar: tau(xy) = tau(x) tau(y) für teilerfremde x,y. Wenn nun eine Zahl n das Produkt von teilerfremden Zahlen ist, dann ist auch tau(n) das Produkt von natürlichen Zahlen. Da 41 eine Primzahl ist, muss also unsere Zahl mit 41 Teilern die Potenz einer Primzahl sein. Der Exponent muss dann 40 sein, und da die Zahl durch 41 teilbar sein soll, handelt es sich um eine Potenz von 41. Damit ist 41^40 die einzige Lösung. Gruss, SirJective |
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| 27.02.2004, 16:29 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Die Lösung
Noch nie was gehört von dieser Fkt, aber Zahlentheorie ist ja auch ein riesiges Gebiet. *gg* Spitze dein Beweis @SirJective ... |
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| 27.02.2004, 18:20 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ich kenn noch nicht mal alle Grundlagen davon...
mfg |
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| 28.02.2004, 10:29 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, Poff. Hat mich eine Viertelstunde gekostet :-) Ich kenn auch nicht alle Grundlagen, muss mich daher demnächst noch durch ein Skript zur analytischen, eins zur algebraischen und eins zur algorithmischen Zahlentheorie durcharbeiten. :-/ Leider finde ich keine einfache Einführung zur Teilerfunktion im Netz (manchmal auch Teileranzahlfunktion genannt), aberwenn's gewünscht wird, kann ich die Eigenschaft tau(x) tau(y) = tau(xy) für teilerfremde x,y hier noch beweisen. Sollte nicht allzu schwierig sein... Gruss, SirJective |
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| 28.02.2004, 14:37 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kannst du machen...wenn du es tust, dann aber bitte im Bereich "Sonstiges" mfg |
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| 01.03.2004, 12:22 | Tecumseh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich muss da jetzt mal eben ein bisschen klugscheißen, wie sich das halt auch für einen Mathematiker gehört...
Also, die Funktion tau, von der da oben geschrieben wurde ist ein Teil im Beweis des Satzes von Dirichlet, welcher ein Mathematiker und passionierter Zahlentheoretiker war. Das weiß ich allerdings auch mehr zufällig, da ich mal für ein Seminar über Funktionentheorie ebendiesen Beweis führen sollte.
Ich habe mir am (internetlosen) Wochenende auch so meine Gedanken über das Rätsel gemacht und bin ebenfalls zu dem Schluss gekommen, dass aufgrund der Konstruktion zumindest die 41^40 als KLEINSTE Möglichkeit in Betracht kam... Aber mit der tau-Funktion geht das ja noch viel toller und einfacher. |
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| 01.03.2004, 18:25 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
tau(x) ... http://matheboard.de/thread.php?sid=&postid=20925#post20925 @SirJective möge da mal drüberschauen, ist nämlich auf meinen Mist gewachsen und da gilt es leider vorsichtig zu sein ;-/ ... |
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| 01.03.2004, 18:59 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mach ich, Poff... |
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| 31.03.2004, 23:43 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ganze hier ist ja gelöst, und keiner hats anscheinend bemerkt 
Außer ich, jetzt :P |
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| 26.08.2004, 10:46 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
diese lösung n=41 ^ 40 ist quatsch, die zahl n hat nämlich nur 1 teiler, nämlich 41, oder wenn man die 1 dazunimmt 2! und diesen teiler halt (nur) 40 mal, da müßte man schon n=41 ^41 nehmen, nach meinem verständnis. lösungsvorschlag: wenn man 1 als teiler akzeptiert: n = 41! diese zahl hat alle zahlen von 1 ... 41 als teiler , das sind 41 oder wenn man die 1 nicht als teiler zuläßt n= 42! diese zahl hat alle zahlen von 2...42 als teiler, also wieder 41 natürlich sind die teiler selbst nicht alle teilerfremd werner |
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| 26.08.2004, 10:51 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bleibt noch anzumerken 41! = 3,34.E49 42! = 1,40.E51 41^40 = 3,2.E64 also um ca E15 größer werner |
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| 28.08.2004, 23:05 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich glaub das ist viel besser als 41^40, da hast du wenigstens 41 teiler oder so kann mir mal jemand erklären, wie das gehen soll?! ich hab keine ahnung von zahlentheorie, aber das ist sicher falsch, da hast du nur einen teiler, und der lautet 41, 41, 41...... und soweit ich ahne, zählt man einen teiler nicht zweimal, wenn er zum quadrat vorkommt! s. auch meinen vorschlag 41! bzw. 42! mein favorit ist 42! werde mir jetzt ein buch über zahlentheorie kaufen werner |
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