Endomorphismus

29.04.2005, 12:19

merlin25

Endomorphismus

Ich habe zu folgender Aufgabe ein paar Fragen. Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für den durch $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegebenen Endomorphismus des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ ermittele man

(a) die Eigenwerte,

(b) die Eigenräume.

Also zu (a) habe ich auch schon eine Lösung, aber der Begriff Endomorphismus gibt mir an dieser Stelle zu denken. Warum steht da nicht einfach Matrix?

In meinen Aufzeichnungen habe ich nämlich folgendes gefunden:

Matrix: $\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$

Endomorphismen: $\begin{eqnarray*} f(x)=\lambda x \end{eqnarray*}$

Da ich (a) aber mit der Formel für eine Matrix gelöst habe weiß ich jetzt nicht ob da was falsch ist.

Also ich habe folgende Eigenwerte ermittelt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=1 \end{eqnarray*}$

Wie gebe ich nun die Eigenräume an?

29.04.2005, 12:23

JochenX

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matrizen haben keine eigenwerte, die sind nur für abbildungen definiert!
aber deine matrix ist die darstellungsmatrix für einen endomorphismus.
es gilt also f(x):=Ax
also f(x)=lambda x, genau wenn Ax=lambda x.

mfg jochen

ps: eiegnwerte muss ich mal geschwind nachrechnen.
kommst du mit den eigenräumen klar?

29.04.2005, 12:26

merlin25

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Mit den Eigenräumen habe ich Probleme. Kannst Du mir da auch Helfen?

29.04.2005, 12:29

JochenX

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hmm, wnn ich mich jetzt nicht verrechnet habe (kann natürlich durchaus sein), dann habe ich -1 doppelt als eigenwert, sowie 1 einfach.

polynomvergleich Augenzwinkern

charPol = -x³+x²+x-1 verwirrt

anschließend:
der eigenraum zum eigenwert lambda berechnet sich wie folgt:
$\begin{eqnarray*} ER_{\lambda}=kern(A-\lambda \cdot I ) \end{eqnarray*}$ , woebi i die einheitsmatrix ist.

edit: plotter zeigt, ich habe meine PD wohl falsch gemacht, war auch genau am papierende... 1 doppelt ist richtig!

edit: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaah, hatte es zerlegt in (x-1)²(x+1) und darsu falsch abgelesen
mensch bin ich ne pfeife!

29.04.2005, 12:39

merlin25

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OK das mit den Eigenwerten ist geklärt. Vielen Dank!

Also ich habe dann 2 Eigenräume:

$\begin{eqnarray*} ER_\lambda =ker\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -3 & -3 & 3 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ER_\lambda =ker\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 3 \\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Frage wie berechne ich den Kern einer Matrix oder bin ich schon fertig?

Das mit dem falsch ablesen ist besser als falsch rechnen Augenzwinkern

29.04.2005, 12:42

JochenX

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den kern kannst du berechnen!

was gilt denn für den kern?
stelle daraus ein LGS auf!

stichwort anschließend: LGS lösen mit Gauß (und evtl. -1-trick)

29.04.2005, 12:51

merlin25

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Meinst Du das so:

$\begin{eqnarray*} -x-y+z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x-3y+3z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x-2y+2z=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x-y+z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x-1y+3z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x-2y+4z=0 \end{eqnarray*}$

Das jetzt lösen?

29.04.2005, 12:57

JochenX

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jawohl! und der lösungsraum muss mindestens eindimensional sein und er kann höchstens m-dimensional sein, wobei m die algebraische vielfachheit des eigenwertes ist.

also dim(ER_-1)=1
dim(ER_1)=1 oder 2

mfg jochen

ps: aber wo dus doch schon so schön in einer matrix hast, würde ich auch in dr matrizendarstellung weiterrechnen.
spart schreibarbeit.

29.04.2005, 13:14

merlin25

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Ich komme irgendwie nicht weiter.

Folgendes habe ich:

$\begin{eqnarray*} dim ER_{-1}=1 \end{eqnarray*}$

Was mach ich mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} -x-y+z=0 \end{eqnarray*}$
denn die muss ja erfüllt sein?

$\begin{eqnarray*} dim ER_{1}=2 \end{eqnarray*}$

Hier bleiben die Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 3z=2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=2x \end{eqnarray*}$

Irgendwie komm ich nicht weiter oder weiß nur nicht wie ich das Ergebnis aufschreiben soll?

29.04.2005, 13:18

JochenX

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beachte, dim(ER_1) kann auch 1 sein!

wie löst du denn ein LGS?
wenn es mehrere lösungen gibt (unendlich viele, lösungsraum), dann musst du eine der unbekannten als parameter setzen (z.b. z=t) und dann den rest in abhängigkeit des parameters lösen.

einfacher: gaußalgorithmus in tmatrizendarstellung und -1-trick

29.04.2005, 13:28

merlin25

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Zitat:

beachte, dim(ER_1) kann auch 1 sein!

kann aber in diesem Fall ist 2 doch richtig oder?

Ok also

$\begin{eqnarray*} z=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac{3}{2} t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=t \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} z=t_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=t_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=t_1-t_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=t_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=t_1 \end{eqnarray*}$

Damit ist es doch gelöst nur wie schreibe ich das jetzt richtig hin?

29.04.2005, 13:32

JochenX

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ich nehme mal an, dass das stimmt....
schreibe es als lösungsraum.

explizite lösung x=(0,0,0)+t1*(.....)+t2*(......) <-- klammern noch mit den korrekten vektoren ausfüllen

das ist dann äquivalent zu <(...),(...)> <-- erzeugnisklammern

29.04.2005, 13:37

merlin25

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Geht es etwas genauer Bitte ich werde daraus nicht schlau???

Gott

29.04.2005, 13:40

JochenX

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z.b. für ein kleineres LGS

lösung sei: x=t, y=2t+3

dann ist deine lösung

L=(0,3)+t*(1,2)

klar?

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