Mengenlehre

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DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre
Ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung. Darum die vielen Beiträge. Ich möchte halt für jede verschiedene Aufgabe, nen extra Topic machen.

Gegeben sind die Mengen A = { 1 , 2 , 3 } und B = { z , x }.

FRAGEN:
Definiert R eine Funktion von A in B? Begründen Sie Ihre Antwort.

Konstruieren Sie eine injektive Funktion mit Hilfe der Mengen A und B. Können Sie auch eine bijektive Funktion definieren? Begründen Sie Ihre Antwort.


Zu dieser Aufgabe habe ich leider keine veranschaulichenden Beispielaufgaben gefunden. Aus den Vorlesungsunterlagen werde ich auch nicht schlauer. Bitte, kann mir jemand sagen, WIE man das macht?

Danke.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

huhu!

die erste Frage verstehe ich nicht, was ist denn R?


Zur zweiten Frage: Was bedeutet Injektivität? Welche der beiden Mengen musst du folglich als Definitionsmenge, und welche als Zielmenge definieren?
 
 
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

injektiv bedeutet doch (wörtlich ausgedrückt) das zwei verschiedene elemente des definitionsbereiches immer zwei verschiedene funktionswerte zugewiesen werden.

wegen R. das hab ic hvergessen. ist ne teilaufgabe von vorher.

Relation R = { (1,z),(1,x),(3,x) }

es galt die umkehrrelation zu bilden.

dann folgen die beiden im ersten post genannten fragen.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

essentiell bei einer funktion ist die eindeutigkeit, das heisst ein urbild kann niemals mehrere bilder haben und genau das musst du überprüfen für
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann ist R keine funktion von A in B, weil der 1 einmal x und einmal z zugewiesen wird, und daher ein Urbild 2 verschiedenen Bildern zugewiesen ist. dies ist gegen die definition einer funktion,

bleibt nur noch zu klären:

Konstruieren Sie eine injektive Funktino mit Hilfe der Mengen A und B. Können Sie auch eine bijektive Funktion definieren? Begründen Sie ihre Antwort.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

was bedeutet denn injektivität? das heisst falls man hat, dann war bereits , also wenn man die funktionswerte vergleicht und feststellt dass sie gleich waren, dann waren auch schon die urbilder gleich. nun überlege dir mal ob man eine injektive funktion finden kann?
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

also ich meine, dass man KEINE injektive funktion konstruieren kann. einfach deshalb:

bspw. 1 --> x , 2 --> z, was macht man dann mit 3? egal, ob ich 3 --> x, oder 3 --> z annehme, die funktion ist NICHT injektiv, weil 1 ungleich 3 ist, oder andernfalls 2 ungleich 3 ist.

darum kann ich auch keine bijektive funktion erzeugen, weil dafür voraussetzung ist, dass sie injektiv ist.

Punkt.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

deine agumentation für ist Freude

nur ich verstehe die aufgabe so, als dass man auch betrachten soll...
kann es denn ein solches injektives geben?
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast recht. Wir haben ja schon gesagt, dass es von A in B keine Funktin gibt? Liege ich da richtig? Weil sonst hätte ich es so verstanden, dass es um A --> B gibt. Was sagt dir denn, dass es anders herum gemeint ist? Bin da offen. smile
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerHochpunkt
Ja, hast recht. Wir haben ja schon gesagt, dass es von A in B keine Funktin gibt? Liege ich da richtig?


nein falsch, funktionen gibts sicherlich, zum beispiel
mit



also eine konstante abbildung. wir haben gezeigt, dass es keine injektive funktion gibt !


so und nun nochmal die frage, gibt es eine injektive funktion ?
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen, gibt es schon, allerdings keine surjektive, da ein element aus A nicht bedient wird. und damit auch nicht bijektiv.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

alles richtig, nur wieso es injektive funktionen gibt müsst du eben noch begründen, stichwort kardinalität....
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

hm. meinst du mit dem begriff, die anzahl der elemente in einer menge? (hatte den nämlich nicht, den betrag einer menge jedoch schon).


kannst du mir auf die sprünge helfen, weiß nicht, worauf du abzielst?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

ganz genau den meine ich...
du hast ja zwei endliche mengen und du willst zeigen, dass es ein injektives gibt.
was muss dann für und gelten?

wenn du die frage beantwortet hast ist alles gut, denn es ist ja , also
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

= ?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

ja, mindestens das, allgemein dieses:


so, jetzt musst du das nur noch ordentlich aufschreiben und voilà Augenzwinkern
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine hilfe.

also gilt dieses kriterium allgemein für injektive funktionen??
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

falls du endliche mengen hast auf jeden fall (das heisst soweit ich weiss schubfachprinzip, aber nagle mich nicht auf den namen fest...)

falls du aber unendliche mengen hast darf man da sehr vorsichtig sein...
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