Divergenz der Primzahl-Inverse

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phi Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz der Primzahl-Inverse
moin,moin,

ich studiere grade den Beweis das



Wobei die Menge aller Primzahlen ist.

Faszinierend übrigens wie Primzahlen mit der Zeta-Funktion zusammenhängen...Augenzwinkern

Ich hab dazu zwei Fragen:

a) Warum ist ?

b) Hier der Zusammenhang:
konvergiert im Bereich s>1, da sie majorisiert wird durch



Für s>1 ist und , so dass man schließlich



erhält.
( Soweit ist mir alles klar)... weiter: Dies zeigt, dass die Reihe für ln im Bereich s>1 beschränkt bleibt, also konvergiert, so dass in diesem Bereich keine Nullstelle hat. ...(halbwegs klar..)...
(Jetzt kommt die Stelle die mir völlig unklar ist verwirrt ):

Dieselben Überlegungen zeigen für s

(*)

mit .

Damit bleibt die Differenz unbeschränkt, so dass mit auch unbeschränkt ist:

, q.e.d.

Der Schluß ist mir auch klar, nur die Zeile (*) macht mir Kopfzerbrechen. Kann mir da jemand bitte weiterhelfen. Gott
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube du brauchst dafür die Produktdarstellung der Zetafunktion, siehe
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
Gleichung (42) (42 lol) damit ist der ln davon auch eine Summe über die Primzahlen, ich hoffe man kann damit was anfangen Augenzwinkern
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber ist ja der ln vom Eulerprodukt.
Ich studiere grade das Papier www.mi.uni-koeln.de/~klingen/primfakt.pdf und versuche grade jeden Schritt zu verstehen...Danke trotzdem.
grumml Auf diesen Beitrag antworten »



Da aber aus dem Logarithmieren von

folgt, kannst du schreiben:




Ich glaube, man kann mit dem Primzahlsatz auch zeigen, dass es genau ist aber ich kann es nicht...

grumml....

EDIT: zu Deiner Frage a) : Das kommt aus der Taylorentwicklung des Logarithmus:


Setzte
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey danke! Das sieht super aus. Hab grade Besuch, werd´s mir nachher in Ruhe angucken. Falls ich noch Fragen hab, edit ich noch mal... smile

Taylorentwicklung! Logisch. Du hast praktisch einen etwas einsichtigeren Beweis geschrieben. ln ln x ist einfach eine andere unbeschränkte Minorante.
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