Divergenz der Primzahl-Inverse |
29.04.2005, 21:01 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Divergenz der Primzahl-Inverse ich studiere grade den Beweis das Wobei die Menge aller Primzahlen ist. Faszinierend übrigens wie Primzahlen mit der Zeta-Funktion zusammenhängen... Ich hab dazu zwei Fragen: a) Warum ist ? b) Hier der Zusammenhang: konvergiert im Bereich s>1, da sie majorisiert wird durch Für s>1 ist und , so dass man schließlich erhält. ( Soweit ist mir alles klar)... weiter: Dies zeigt, dass die Reihe für ln im Bereich s>1 beschränkt bleibt, also konvergiert, so dass in diesem Bereich keine Nullstelle hat. ...(halbwegs klar..)... (Jetzt kommt die Stelle die mir völlig unklar ist ): Dieselben Überlegungen zeigen für s (*) mit . Damit bleibt die Differenz unbeschränkt, so dass mit auch unbeschränkt ist: , q.e.d. Der Schluß ist mir auch klar, nur die Zeile (*) macht mir Kopfzerbrechen. Kann mir da jemand bitte weiterhelfen. |
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29.04.2005, 21:16 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich glaube du brauchst dafür die Produktdarstellung der Zetafunktion, siehe http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Gleichung (42) (42 lol) damit ist der ln davon auch eine Summe über die Primzahlen, ich hoffe man kann damit was anfangen |
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29.04.2005, 21:46 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, aber ist ja der ln vom Eulerprodukt. Ich studiere grade das Papier www.mi.uni-koeln.de/~klingen/primfakt.pdf und versuche grade jeden Schritt zu verstehen...Danke trotzdem. |
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30.04.2005, 16:03 | grumml | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da aber aus dem Logarithmieren von folgt, kannst du schreiben: Ich glaube, man kann mit dem Primzahlsatz auch zeigen, dass es genau ist aber ich kann es nicht... grumml.... EDIT: zu Deiner Frage a) : Das kommt aus der Taylorentwicklung des Logarithmus: Setzte |
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30.04.2005, 17:55 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey danke! Das sieht super aus. Hab grade Besuch, werd´s mir nachher in Ruhe angucken. Falls ich noch Fragen hab, edit ich noch mal... Taylorentwicklung! Logisch. Du hast praktisch einen etwas einsichtigeren Beweis geschrieben. ln ln x ist einfach eine andere unbeschränkte Minorante. |
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