[WS] Folgen & Reihen

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Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Folgen & Reihen
Nachdem ich meinen Workshop "Vollständige induktion" nun erst mal ruhen lasse, bis sich fragen auftun, werde ich mich an einem neuen Workshop vergehen.
Ich versuche, die Konvergenz und die Berechnung von Reihen an einigen Beispielen zu verdeutlichen.
Dies kann jedoch noch ein bisschen dauern..
Gruß Andy
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Workshop] Folgen & Reihen
Was ist eine Folge?
Zuerst beginnen wir mit der Definition.
Def.: Eine (reelle) Folge ist eine Abbildung . Statt schreibt man für die Folge häufig .
Man nennt die Wertemenge dieser Abbildung auch die Wertemenge der Folge. Gilt , so spricht man von einer Folge in M.
 
 
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
Veranschaulichung durch einfache Beispiele
Beispiele für Folgen:

1.)


Es handelt sich hierbei um die natürlichen Zahlen.

2.)


Die Quadratzahlen

3.)


Man spricht hierbei von einer "alternierenden" Folge.
Alternierend deswegen, weil sich nach jedem Glied das Vorzeichen wechselt.

In Beispiel 3 würde man die Wertemenge wie folgt fomulieren


4.)


5.)




Während z.B. in Beipiel 4 der Wert immer größer wird, schneide ich in Beispiel 5 das nächste Thema an. Eine Folge kann einen "Endwert" annehmen. Man spricht dabei von Konvergenz.
Mehr dazu im nächsten Punkt.
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Veranschaulichung durch einfache Beispiele
Neuer Begriff: Konvergenz:
Definition:
Eine (reelle) Folge heißt konvergent, wenn ein existiert, so dass zu jedem ein existiert mit der Eigenschaft
für alle .
Man nennt a den Limes oder Grenzwert der Folge und schreibt .
Man sagt auch, dass gegen konvergiert.
Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Veranschaulichung durch einfache Beispiele
Wie kommt man auf den Wert in Beispiel 5.)
Hierzu gibt es ein Verfahren, das ständig angewandt wird, indem man bei einem Bruch in dem der Grad der Polynome in Zähler und Nenner gleich sind, zunächst die höchste Potenz ausklammert und anschließend die Variable gegen unendlich laufen lässt.

Anschaulich:


Nun bestimmt man den Grenzwert


Jeder, der die Grenzwertberechnung schon gemacht hat, sieht schnell,
das der Grenzwert des Zählers wie folgt bestimmt ist:


Analog verfährt man mit dem Nenner und erhält einen Grenzwert von .
Cel Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkonvergenz (WS, Fort.)
Hier soll nun eine Vorgehensweise erläutert werden, wie man die Konvergenz von rekursiven Folgen (erster Ordnung), also Folgen der Form

mit Startwert und einer beliebigen (stetigen) Funktion

nachweisen kann. Alternativ ist auch eine Beschränkung auf möglich, dann ergibt sich als Startwert .

Beschränktheit und Monotonie Konvergenz

Für diese Methode benutzen wir die [WS] Vollständige Induktion.

Hierzu sei folgendes Beispiel gegeben:



Die Folge konvergiert, was wir nun zeigen möchten. Ist sie nämlich monoton und beschränkt, muss sie konvergieren.

(i) Zeige: Die Folge ist nach unten durch 1 beschränkt.

I.A. n = 1:
I.S.

(ii) Zeige: Die Folge ist nach oben durch 2 beschränkt.

I.A. n = 1:
I.S. da nach I.V.

Die Folge ist also beschränkt.

(iii) Zeige: ist monoton fallend, also .



(iv) Grenzwert.

Falls eine rekursive Folge gegen einen Grenzwert a konvergiert (was sie hier tut), kann er durch Limesbildung auf beiden Seiten berechnet werden:



(Hier geht die Stetigkeit von f ein, die wir voraussetzen.)

Wir berechnen also die Limiten beider Seiten:



Der Grenzwert muss also gleich 1 sein, da bereits der Startwert kleiner als 2 ist und die Folge monoton fällt. Als Ergebnis erhalten wir also .

Eine zweite Möglichkeit besteht darin, zunächst eine explizite Form der Folge zu finden, was mitunter schwierig sein kann. Entweder kann diese durch "scharfes Hinsehen" oder mittels der Diskreten Mathematik gefunden werden. Ist f eine nicht-lineare Funktion (wie in unserem Beispiel) erhöht sich die Schwierigkeit dieser Methode enorm.

Ebenso funktionieren beide Vorgehensweisen für rekursive Folgen höherer Ordnung.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte das nicht eher in den WS-Bereich kommen? Augenzwinkern

Aber sehr schön gemacht smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Merci, das kommt auch in einen WS, aber wir Normalsterblichen dürfen dort nicht posten. Augenzwinkern
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Mir gefällts auch.
Nächster Punkt könnte Banachscher Fixpuntksatz werden, oder?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Güte, so viel des Lobes. Ups

Es gibt bereits einen WS zu Folgen (und auch Reihen), der ist aber noch nicht so ganz gut gefüllt. Banach ist da vielleicht schon zu viel des Guten. Ein, zwei Beispiele für Folgen mache ich wohl noch, dann kommen Reihen dran.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal interessiert man sich nur für die Konvergenz einer rekursiv definierten Folge und nicht für ihren Grenzwert. Dann kann es hilfreich sein, die Folge als Cauchyfolge zu identifizieren. Bekanntermaßen konvergieren Cauchyfolgen in . Zur Erinnerung:



Beispielfolge (zweiter Ordnung):



Zunächst untersuchen wir den Abstand zweier direkt aufeinander folgender Folgenglieder:



Das letzte Ungleichheitszeichen resultiert aus der Dreiecksungleichung.
Also ergibt sich folgende Aussage:



Wir vemuten (begründet, wie sich später herausstellt): . Dies beweisen wir mit vollständiger Induktion.

I.A. n=1:

I.S.

Diese Ungleichung nutzen wir nun aus, um nachzuweisen, dass eine Cauchy-Folge ist:




ist also eine Cauchy-Folge und konvergiert. Beachte: Den Grenzwert kann man hier nicht wie im obigen Beispiel errechnen. Der Versuch endet bei einer wahren Aussage "0 = 0", ohne Informationen über den Grenzwert zu liefern.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das Sandwich-Theorem

Satz. Gibt es ein , so dass für alle für drei Folgen die Ungleichung

gilt und konvergieren und gegen einen Grenzwert , so auch .

Beweis. Sei . Dann gilt (wegen der Konvergenz der Folgen): :




Daraus folgt nun wiederum:






Als Beispiel sei folgende Folge zu untersuchen:



Folgende Abschätzung gilt:



Somit konvergiert gegen 5.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Das Sandwich-Theorem

Satz. Gilt für drei Folgen die Ungleichung

und konvergieren und gegen einen Grenzwert , so auch .


Allgemeiner: Gibt es ein sodass für alle für die drei Folgen die Ungleichung

gilt und konvergieren und gegen einen Grenzwert , so auch .

Und was ist mit dem Beweis dazu? Oder weden im Workshop nur Beispiele vorgerechnet? Gleich mal nachsehen...
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzung: rekursive Folgen
Inzwischen wurde Cel's Beitrag ja in den Workshop-Bereich verschoben, daher zitiere ich hier eine von ihm genannte Folge:



und schließe die Lücke hinsichtlich der Frage nach dem Grenzwert.

Offensichtlich Augenzwinkern hat diese Folge die explizite Darstellung:



welche nun neben der Konvergenz auch den Grenzwert offenbart.


Mein eigentliches Anliegen ist es aber darauf hinzuweisen, dass höchstens für rekursive Folgen bestimmter Bauart (und daraus resultierenden bestimmten Eigenschaften), allgemeine Verfahren zur Konvergenzuntersuchung angegeben werden können.
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