[WS] Folgen & Reihen

27.02.2004, 13:29

Deakandy

[WS] Folgen & Reihen

Nachdem ich meinen Workshop "Vollständige induktion" nun erst mal ruhen lasse, bis sich fragen auftun, werde ich mich an einem neuen Workshop vergehen.
Ich versuche, die Konvergenz und die Berechnung von Reihen an einigen Beispielen zu verdeutlichen.
Dies kann jedoch noch ein bisschen dauern..
Gruß Andy

09.03.2004, 01:36

Deakandy

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RE: [Workshop] Folgen & Reihen
Was ist eine Folge?
Zuerst beginnen wir mit der Definition.
Def.: Eine (reelle) Folge ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb N \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Statt $\begin{eqnarray*} \mathbb N \to \mathbb R \, , \ n \mapsto a_n \end{eqnarray*}$ schreibt man für die Folge häufig $\begin{eqnarray*} (a_n) \, , \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$ .
Man nennt die Wertemenge dieser Abbildung $\begin{eqnarray*} W = \{ a_n \vert n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ auch die Wertemenge der Folge. Gilt $\begin{eqnarray*} W \subset M \end{eqnarray*}$ , so spricht man von einer Folge in M.

09.03.2004, 01:42

Deakandy

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Veranschaulichung durch einfache Beispiele
Beispiele für Folgen:

1.)
$\begin{eqnarray*} a_n = n \, ; \ n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow 1 \, , \ 2 \, , \ 3 \, , \ ..... \, , \ n \end{eqnarray*}$
Es handelt sich hierbei um die natürlichen Zahlen.

2.)
$\begin{eqnarray*} a_n = n^2 \, ; \ n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow 1\, , \ 4 \, , \ 9 \, , \ 16 \, , \ .... \, , \ n^2 \end{eqnarray*}$
Die Quadratzahlen

3.)
$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \, ; \ n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow -1 \, , \ 1 \, , \ -1 \, , \ 1 \, , \ .... \, , \ (-1)^n \end{eqnarray*}$
Man spricht hierbei von einer "alternierenden" Folge.
Alternierend deswegen, weil sich nach jedem Glied das Vorzeichen wechselt.

In Beispiel 3 würde man die Wertemenge wie folgt fomulieren
$\begin{eqnarray*} W=\{1 \, , \ -1\} \end{eqnarray*}$

4.)
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac {n^2+2} {n} \, ; \ n \in \mathbb N \rightarrow 3\, , \ 3 \, , \ \frac {11} {3} \, , \ ...., \, ??? \end{eqnarray*}$

5.)
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac {3n^2+n+4} {2n^2+4n+2} \, ; \ n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow 1 \, , \ \frac {10} {9} \, , \ \frac {34} {32} \, , \ \frac {56} {50} \, , \ ... \, , \ \frac {3} {2} \end{eqnarray*}$

Während z.B. in Beipiel 4 der Wert immer größer wird, schneide ich in Beispiel 5 das nächste Thema an. Eine Folge kann einen "Endwert" annehmen. Man spricht dabei von Konvergenz.
Mehr dazu im nächsten Punkt.

09.03.2004, 01:51

Deakandy

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RE: Veranschaulichung durch einfache Beispiele
Neuer Begriff: Konvergenz:
Definition:
Eine (reelle) Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \, , \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$ heißt konvergent, wenn ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert, so dass zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 = n_0 (\epsilon) \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert mit der Eigenschaft
$\begin{eqnarray*} \vert a_n-a \vert < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .
Man nennt a den Limes oder Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \, , \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$ und schreibt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n =a \end{eqnarray*}$ .
Man sagt auch, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \, , \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.

09.03.2004, 02:25

Deakandy

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RE: Veranschaulichung durch einfache Beispiele
Wie kommt man auf den Wert $\begin{eqnarray*} \frac {3} {2} \end{eqnarray*}$ in Beispiel 5.)
Hierzu gibt es ein Verfahren, das ständig angewandt wird, indem man bei einem Bruch in dem der Grad der Polynome in Zähler und Nenner gleich sind, zunächst die höchste Potenz ausklammert und anschließend die Variable gegen unendlich laufen lässt.

Anschaulich:
$\begin{eqnarray*} \frac {3n^2+n+4} {2n^2+4n+2} =\frac {n^2 \cdot \left( 3+\frac {1} {n}+\frac {4} {n^2} \right) } {n^2 \cdot \left( 2+\frac {4} {n}+\frac {2} {n^2} \right) }=\frac { \left( 3+\frac {1} {n}+\frac {4} {n^2} \right) } { \left( 2+\frac {4} {n}+\frac {2} {n^2} \right) } \end{eqnarray*}$

Nun bestimmt man den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac { \left( 3+\frac {1} {n}+\frac {4} {n^2} \right) } { \left( 2+\frac {4} {n}+\frac {2} {n^2} \right) } \end{eqnarray*}$

Jeder, der die Grenzwertberechnung schon gemacht hat, sieht schnell,
das der Grenzwert des Zählers wie folgt bestimmt ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {3+\frac {1} {n} +\frac {4} {n^2}} = \lim_{n \to \infty} {3}+ \lim_{n \to \infty} {\frac {1} {n}}+\lim_{n \to \infty} {\frac {4} {n^2}}=3+0+0=3 \end{eqnarray*}$

Analog verfährt man mit dem Nenner und erhält einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac {3} {2} \end{eqnarray*}$ .

09.09.2010, 10:23

Cel

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Folgenkonvergenz (WS, Fort.)
Hier soll nun eine Vorgehensweise erläutert werden, wie man die Konvergenz von rekursiven Folgen (erster Ordnung), also Folgen der Form

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = f(a_{n}), \; n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ mit Startwert $\begin{eqnarray*} a_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und einer beliebigen (stetigen) Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

nachweisen kann. Alternativ ist auch eine Beschränkung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ möglich, dann ergibt sich als Startwert $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ .

Beschränktheit und Monotonie $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Konvergenz

Für diese Methode benutzen wir die [WS] Vollständige Induktion.

Hierzu sei folgendes Beispiel gegeben:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2, \; a_1 = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Die Folge konvergiert, was wir nun zeigen möchten. Ist sie nämlich monoton und beschränkt, muss sie konvergieren.

(i) Zeige: Die Folge ist nach unten durch 1 beschränkt.

I.A. n = 1: $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{3}{2} \geq 1\; \checkmark \end{eqnarray*}$
I.S. $\begin{eqnarray*} n \to n+1:\; a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 = (a_n - 1)^2 + 1 \geq 1\; \checkmark \end{eqnarray*}$

(ii) Zeige: Die Folge ist nach oben durch 2 beschränkt.

I.A. n = 1: $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{3}{2} \leq 2\; \checkmark \end{eqnarray*}$
I.S. $\begin{eqnarray*} n \to n+1:\; a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 = (a_n - 1)^2 + 1 \leq 2, \end{eqnarray*}$ da nach I.V. $\begin{eqnarray*} |a_n - 1| \leq 1 \Rightarrow (a_n - 1)^2 \leq 1\; \checkmark \end{eqnarray*}$

Die Folge ist also beschränkt.

(iii) Zeige: $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend, also $\begin{eqnarray*} a_n - a_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl}a_n - a_{n+1} = &a_n - (a_n -1)^2 - 1 = (a_n - 1) - (a_n - 1)^2\\ =& (a_n - 1) - (a_n - 1)(a_n - 1) = (a_n - 1)(1 - (a_n - 1))\\ =& (\underbrace{a_n - 1}_{\geq 0})(\underbrace{2 - a_n}_{\geq 0}) \geq 0\end{array} \checkmark \end{eqnarray*}$

(iv) Grenzwert.

Falls eine rekursive Folge gegen einen Grenzwert a konvergiert (was sie hier tut), kann er durch Limesbildung auf beiden Seiten berechnet werden:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{a_{n+1}}_{\to\; a} = \underbrace{f(a_n)}_{\to\; f(a)} \end{eqnarray*}$

(Hier geht die Stetigkeit von f ein, die wir voraussetzen.)

Wir berechnen also die Limiten beider Seiten:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 \Rightarrow a = a^2 - 2a +2 \Leftrightarrow a-1 = (a-1)^2 \Rightarrow a = 1\; \lor \; a = 2 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert muss also gleich 1 sein, da bereits der Startwert kleiner als 2 ist und die Folge monoton fällt. Als Ergebnis erhalten wir also $\begin{eqnarray*} a_n \downarrow 1 (n \to \infty) \end{eqnarray*}$ .

Eine zweite Möglichkeit besteht darin, zunächst eine explizite Form der Folge zu finden, was mitunter schwierig sein kann. Entweder kann diese durch "scharfes Hinsehen" oder mittels der Diskreten Mathematik gefunden werden. Ist f eine nicht-lineare Funktion (wie in unserem Beispiel) erhöht sich die Schwierigkeit dieser Methode enorm.

Ebenso funktionieren beide Vorgehensweisen für rekursive Folgen höherer Ordnung.

09.09.2010, 13:09

Iorek

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Sollte das nicht eher in den WS-Bereich kommen? Augenzwinkern

Aber sehr schön gemacht smile

09.09.2010, 13:11

Cel

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Merci, das kommt auch in einen WS, aber wir Normalsterblichen dürfen dort nicht posten. Augenzwinkern

09.09.2010, 15:25

giles

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Mir gefällts auch.
Nächster Punkt könnte Banachscher Fixpuntksatz werden, oder?

09.09.2010, 15:33

Cel

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Meine Güte, so viel des Lobes. Ups

Es gibt bereits einen WS zu Folgen (und auch Reihen), der ist aber noch nicht so ganz gut gefüllt. Banach ist da vielleicht schon zu viel des Guten. Ein, zwei Beispiele für Folgen mache ich wohl noch, dann kommen Reihen dran.

09.09.2010, 18:25

Cel

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Manchmal interessiert man sich nur für die Konvergenz einer rekursiv definierten Folge und nicht für ihren Grenzwert. Dann kann es hilfreich sein, die Folge als Cauchyfolge zu identifizieren. Bekanntermaßen konvergieren Cauchyfolgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zur Erinnerung:

$\begin{eqnarray*} a_n \text{ ist Cauchy-Folge } \Leftrightarrow \forall \; \varepsilon > 0 \; \exists \; n_0 \in \mathbb N \; \forall \; n, m > n_0: |a_n - a_m| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Beispielfolge (zweiter Ordnung):

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{5}{4}a_n - \frac{1}{4}a_{n-1} + \frac{(-1)^n}{4^n}, \; a_0 = 0, \; a_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Zunächst untersuchen wir den Abstand zweier direkt aufeinander folgender Folgenglieder:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{|a_{n+1} - a_n|}_{=: \;d_{n+1}} = \left|\frac{1}{4}(a_n - a_{n-1}) + \frac{(-1)^n}{4^n}\right| \leq \frac{1}{4}\underbrace{|a_n - a_{n-1}|}_{=: \;d_n} + \frac{1}{4^n} \end{eqnarray*}$

Das letzte Ungleichheitszeichen resultiert aus der Dreiecksungleichung.
Also ergibt sich folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} d_{n+1} \leq \frac{1}{4}d_n + \frac{1}{4^n}\; (*) \end{eqnarray*}$

Wir vemuten (begründet, wie sich später herausstellt): $\begin{eqnarray*} d_n \leq 2^{-n+1} \end{eqnarray*}$ . Dies beweisen wir mit vollständiger Induktion.

I.A. n=1: $\begin{eqnarray*} d_1 = |a_1 - a_0| = 1 \leq 1 = 2^0\; \checkmark \end{eqnarray*}$

I.S. $\begin{eqnarray*} n \to n+1: \;d_{n+1} \stackrel{(*)}{\leq} \frac{1}{4}d_n + \frac{1}{4^n} \stackrel{I.V.}{\leq} \frac{1}{4}2^{-n+1} + \frac{1}{4^n} = \frac{1}{4} (2^{-n+1} + 4^{-n+1}) \leq \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2^{-n+1} = 2^{-1} \cdot 2^{-n+1} = 2^{-(n+1)+1}\; \checkmark \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung nutzen wir nun aus, um nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist:

$\begin{eqnarray*} |a_n - a_m| = |a_n - a_{n-1} + a_{n-1} - a_{n-2} + \dots + a_{m+1} - a_m| \leq 2^{-n+1} + 2^{-(n-1)+1} + \dots + 2^{-(m+1)+1} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k = m}^{n-1}2^{-k} = 2^{-m}\sum\limits_{j = 0}^{n-1-m}2^{-j} = 2^{-m}\frac{1 -2^{m-n}}{1- 2^{-1}} < 2^{-m+1} < \varepsilon \; (m \geq n_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist also eine Cauchy-Folge und konvergiert. Beachte: Den Grenzwert kann man hier nicht wie im obigen Beispiel errechnen. Der Versuch endet bei einer wahren Aussage "0 = 0", ohne Informationen über den Grenzwert zu liefern.

09.09.2010, 18:45

Cel

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Das Sandwich-Theorem

Satz. Gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ für drei Folgen $\begin{eqnarray*} a_n,\; b_n, \; c_n \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} b_n \leq a_n \leq c_n \; \end{eqnarray*}$ gilt und konvergieren $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

Beweis. Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt (wegen der Konvergenz der Folgen): $\begin{eqnarray*} \exists \; N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |c_n - a| < \varepsilon \quad (n \geq N) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |b_n - a| < \varepsilon \quad (n \geq N) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt nun wiederum:

$\begin{eqnarray*} a_n - a \leq c_n - a < \varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a - a_n \leq a - b_n < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon \quad (n \geq N) \quad \Box \end{eqnarray*}$

Als Beispiel sei folgende Folge zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt[n]{3^n + 5^n} \end{eqnarray*}$

Folgende Abschätzung gilt:

$\begin{eqnarray*} 5 \leftarrow 5 = \sqrt[n]{5^n} \leq \sqrt[n]{3^n + 5^n} \leq \sqrt[n]{2 \cdot 5^n} = \sqrt[n]{2} \cdot 5 \to 5 \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 5.

09.09.2010, 19:13

jester.

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Zitat:

Original von Cel
Das Sandwich-Theorem

Satz. Gilt für drei Folgen $\begin{eqnarray*} a_n,\; b_n, \; c_n \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} b_n \leq a_n \leq c_n \; \forall \; n \end{eqnarray*}$ und konvergieren $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

Allgemeiner: Gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ für die drei Folgen $\begin{eqnarray*} a_n,\; b_n, \; c_n \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} b_n \leq a_n \leq c_n \end{eqnarray*}$ gilt und konvergieren $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

Und was ist mit dem Beweis dazu? Oder weden im Workshop nur Beispiele vorgerechnet? Gleich mal nachsehen...

09.09.2010, 22:12

Kühlkiste

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Ergänzung: rekursive Folgen
Inzwischen wurde Cel's Beitrag ja in den Workshop-Bereich verschoben, daher zitiere ich hier eine von ihm genannte Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac 54 a_n-\frac 14 a_{n-1}+\left(-\frac 14\right)^n,~a_0:=0,~a1:=1 \end{eqnarray*}$

und schließe die Lücke hinsichtlich der Frage nach dem Grenzwert.

Offensichtlich Augenzwinkern

hat diese Folge die explizite Darstellung:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{16}{15}\left(1-\left(\frac 14\right)^n\right)+\frac 25\left(\left(\frac 14\right)^n-\left(-\frac 14\right)^n\right) \end{eqnarray*}$

welche nun neben der Konvergenz auch den Grenzwert offenbart.

Mein eigentliches Anliegen ist es aber darauf hinzuweisen, dass höchstens für rekursive Folgen bestimmter Bauart (und daraus resultierenden bestimmten Eigenschaften), allgemeine Verfahren zur Konvergenzuntersuchung angegeben werden können.

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