Endlicher Körper mit 6 Elementen

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phi Auf diesen Beitrag antworten »
Endlicher Körper mit 6 Elementen
moin,moin,

Es gibt manchmal Aufgaben deren Lösung kapiert man selbst dann nicht wenn sie vor einem liegt und man sie ein paar Stunden studiert...das hier ist so eine (für mich jedenfalls Hammer : ). Sie stammt aus A. Beutelspachers Lineare Algebra ( Freude super Buch!):

Überlege warum es keinen Körper mit genau 6 Elementen geben kann.

Ich verstehe genau die 1.Hälfte seiner Lösung, die 2. irgendwie gar nicht. Ich geb sie mal komplett an, damit man den Zusammenhang versteht.

a) Wir verwenden zunächst das in jedem endlichen Körper es eine natürliche Zahl n gibt derart, dass
n1=1+1+...+1=0 gilt, und das die kleinste natürliche Zahl für die dies gilt eine Primzahl ist... also min n=p.
Angenommen, es gibt einen Körper K mit genau 6 Elementen. Es gibt eine Primzahl p mit p mal 1=0. es folgt p {2,3,5}.
Sei F:={0,1,}.

(...klar, p muß eins dieser Zahlen sein...)

b) . Sonst gäbe es genau ein Element a, das nicht in F liegt. Dann liegt auch a+1 nicht in F. (Sonst a+1 =n1, also a=(n-1)F.)

(...das versteht man am besten wenn man die Additions- und Multiplikationstabellen skizziert: Da 5 die vorletzte Zahl wäre, fliegt irgendeine andere Zahl zwangsläufig raus...glaub´ich)

c) . Sonst F={0,1,2}. Sei a ein Element von K, das nicht in F liegt. Dann ist auch 2a nicht in F. Also muss es ein weiteres Element b aus K geben, das nicht in F liegt. Dann liegt 2b weder in F, noch ist es gleich a oder gleicht 2a, noch gleich b: Widerspruch.

(...ich beginne c) zu verstehen: 2a:=b, woraus dann b nicht gleich b folgt...)

d) . In diesem Fall wäre F={0,1}, und es folgte K={0,1,a,a+1,b,b+1} für geeignete Elemente a und b. Betrachte die Elemente a+b und a+b+1. Beide können weder a, noch b, noch a+1, noch b+1 sein. Also ist a+b =0 und a+b+1=1. Aus a+b=0 folgt aber a=b (da -1=1), ein Widerspruch.

(...bin mir nicht ganz sicher: wäre -1=1 weil -1 kongruent zu 1mod2 ist, und der Widerspruch darin bestünde dass a und b als verschieden vorausgesetzt wurden, also nicht aufeinmal a=b sein kann???)

Stimmen meine Kommentare?

Danke im Voraus für´s geduldige lesen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endlicher Körper mit 6 Elementen
Zitat:
Original von phi
a) Wir verwenden zunächst das in jedem endlichen Körper es eine natürliche Zahl n gibt derart, dass
n1=1+1+...+1=0 gilt, und das die kleinste natürliche Zahl für die dies gilt eine Primzahl ist... also min n=p.
Angenommen, es gibt einen Körper K mit genau 6 Elementen. Es gibt eine Primzahl p mit p mal 1=0. es folgt p {2,3,5}.
Sei F:={0,1,}.

(...klar, p muß eins dieser Zahlen sein...)


hmmm, ich bin mir etwas unschüssig, was du hier meinst....
deine körpermenge an sich macht ja schon mal keinen sinn, da du sowohl 0, als auch p*1, was aber 0 sein soll aufführst.

dann, was meinst du mit p muss eins dieser zahlen sein?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Schauen wir uns z.B den endlichen Restklassen Körper Z_5 an: Da ist doch auch 3+2=0 weil 5mod5=0 ist. 5 ist jetzt zwar kein Element von Z_5, aber es ist auf jeden Fall (5*1)mod5=0 bzw (1+1+1+1+1)mod5=0 , trotzdem sind 5 und 0 zwei verschiedene Zahlen. In endlichen Körpern passieren nunmal merkwürdige Sachen.

Aber in der Tat ist ja grade zu beweisen das ein Körper mit genau 6 Elementen keinen Sinn macht. Einer mit 9 = Potenz von Primzahl z.B schon.

Zur 2.Frage: p muss entweder 2,3 oder 5 sein, also eine Primzahl kleiner als 6...



Übrigens die Lösung ist von Professor A. Beutelspacher, ich kann doch auch nichts dafür...Wer weiß was diese Professoren für komische Drogen nehmen, dass ihn immer so seltsame Dinge einfallen... Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
trotzdem sind 5 und 0 zwei verschiedene Zahlen

ich glaube, du haust da etwas durcheinander.
wenn du den Z/5Z-körper={0,1,2,3,4} betrachtest, so wird dir auffallen, dass 5 kein element von ihm ist. 1+1+1+1+1=0 in diesem körper, sonst nix.
5*1 kannst du dabei nur definieren als eben 1+1+1+1+1, aber es ist nicht grundlegend definiert über die körpermultiplikationsverknüpfungstafel, weil ja 5 nicht im körper liegt.
also kannst du im Z/5Z-körper das element 5 gar nicht mit etwas vergleichen.

na vielleicht kann dir ja wer anders besser helfen!

mfg jochen


ps: aber beutelsbacher auf drogen ist schon ein nettes bild.
habe ihn im mathematikum kennengelernt - sehr nett!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
5 ist jetzt zwar kein Element von Z_5, aber es ist .....Augenzwinkern


Das ist schon klar, war nur als Beispiel zum `warmwerden´ mit dem Phänomen das 0 ganz anders als gewohnt definiert sein kann.

A.B. hat hier in Kassel mal ne kleine Vorlesung gehalten mit dem Titel `Mathe ist voll krass´, hab ich mir natürlich nicht entgehen lassen. Nach Gießen muß ich auch mal demnächst.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

huch ich hab das jetzt erst verstanden!
wenn du aus F diese p*1 rauslässt macht es für mich erst richtig sinn!

F={0,1,1+1,1+1+1,.....} bis (p-1)*1 (edit: als teilmenge von deinem körper!)

mit dieser erkenntnis gehe ich das noch mal an!

Wink viel spaß in gießen!



edit2: und das mit p hatte ich auch missvesrstanden! mit eine dieser zahlen dachte ich du meintest eine der zahlen aus F! Hammer
 
 
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube der Beweis läuft darauf hinaus zu zeigen dass alle Kanditaten für eine für den Körper charakteristische, nullteilerfreie Zahl eine nach der anderen rausfliegen und man wird didaktisch auf den Beweis vorbereitet das Gaulois-Körper nur mit soviel Elementen funktionieren wenn ihre Anzahl einer Potenz einer Primzahl entspricht...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jupp langsam steige ich hinter deinen text, bin mir aber noch nicht ganz sicher, ob ich den ganzen beweis um die uhrzeit zusammenkriege vom veständnis her.

zur sache, versuchen wir es der reihe nach:
annahme p=5
dann sähe dein körper so aus; K={1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,1+1+1+1+1=0,a}={0,1,2,3,4,a}, wenn dus so besser siehst.
a fällt dabei aus der reihe und liegt nicht in der untermenge F={0,1,2,3,4}, allerdings darf a ja auch das einzige element sein, dass nicht in F liegt (gibt ja kein anderes).
betrachte nun a+1, das kann eben auch nicht in F liegen, womit wir einen widerspruch gefunden hätten, denn a+1<>a!
der beweis, dass a+1 nicht in F liegt, wird mit widerspruch geführt, ist der teil klar?


edit: also dein kommentar zu c) ist schmus
was ich noch nicht ganz an c) verstehe ist abe, warum b+b nicht a sein kann verwirrt

d) werde ich mir heute nacht aber nicht mehr reinziehen, zu c) kann ich noch ein paar worte sagen, wenn du magst.....

bin noch kurz online!



edit2: scheinbar nicht, dann gute nacht! Schläfer
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Bin noch da, hab mich nur in andere Threads vertieft, gute Nacht falls du schon offline bist!


Zitat:
Original von phi
Dann ist auch 2a nicht in F. Also muss es ein weiteres Element b aus K geben, das nicht in F liegt.


Ich hab das so verstanden das diese a+a welches nicht in F ist grade als b definiert wird...

Aber ich geh´ jetzt auch schlafen, bin mal gespannt wie´s morgen weitergeht.

Schläfer

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

edit: sorry, war wohl zu verpennt...(phi)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das ist falsch 2a wird nicht als b definiert!

du hast bereits 3 deine 6 elemente gefunden (F={0,1,2}), es gibt also ein element a aus deinem körper, dass nicht in F liegt.
nun kannst du relativ leicht zeigen, dass auch a+a:=2a<>a nicht in F liegt (sei z.b. a+a=1, dann wäre a schon 2 (und somit in F) gewesen!, andere beiden fälle auch leicht ausschließbar.

unser körper sieht also bislang so aus: {0,1,2,a,a+a,?}
dieses fragezeichen ist nun ein element b, das weder in F liegt, noch =a, noch =2a(=a+a) ist.
2b kann genauso wieder nicht in F liegen, wie das bei 2a beründet wurde.
2b wäre also noch ein 7. element, widerspruch!

mein problem hierbei ist noch: wieso kann b+b nicht =a sein!?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Beweisteil b) also das wenn a nicht in F liegt, auch a+1 nicht in F liegen kann ist klar.

Ich hab jetzt auch verstanden, das die Überlegungen was in F liegt oder nicht, dazu da sind um zu schauen welches Element in K prim ist.

Aber warum b+b nicht a sein kann, ist mir jetzt auch ein Rätsel, und es wäre wichtig zu wissen warum damit man zweifelsfrei sagen kann warum 2b ein 7.Element wäre und eben nicht ein schon vorhandenes.

Ich bin jedenfalls froh diese Aufgabe gepostet zu haben, als ich grade zu glauben anfing sie ganz verstanden zu haben. So lern ich nix falsches.

Werd´ mir noch mal Punkt für Punkt anschauen und die + und * Tabellen skizzieren.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich hab jetzt auch verstanden, das die Überlegungen was in F liegt oder nicht, dazu da sind um zu schauen welches Element in K prim ist.

was hat denn das mit primelementen zu tun!?

zur c) was wäre denn b+b+b, wenn b+b=a wäre?
kann man damit was argumentieren?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Frage: ich weiß jetzt das ich nix weiß.

zu c) hat es vielleicht etwas damit zu tun, an welcher Stelle in K man das b plaziert. Also {0,1,2,a,a+a,b} oder {0,1,2,b,a,a+a}, und das sich kein Zyklus finden läßt in dem b+b=a ist?

bzw. das b+b+b = a+b (Assoziativ) zu einem Widerspruch führt?
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