Integration einer e-Funktion

30.04.2005, 14:44

Eisloeffel

Integration einer e-Funktion

Hallo

ich habe mal wieder ein mathematisches Problem, weil ich mal wieder nicht integrieren kann. Ich habe schon einen Ansatz aber der geht irgenwie nicht auf.

Jetzt die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty}~e^\frac{-x^{4}}{4r}~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe dann $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ durch u substituiert.

Dann kam ich zu folgenden: $\begin{eqnarray*} dx=\frac{4}{x^{3}}du \end{eqnarray*}$

das habe ich dann in das eigentliche Integral eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }~\frac{4}{x^{3}}*e^\frac{-x^{4}}{4r} ~du \end{eqnarray*}$

muss ich denn jetzt partiell integrieren, oder wie?
oder geht das denn nicht ein wenig einfacher?
ist es denn eigentlich bis dahin richtig?

Ich danke wirklich für jede Hilfe!!!

30.04.2005, 15:10

DerEierMann

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Ich zweifle daran, dass es für diesen Integranden eine elementare Stammfunktion gibt.

30.04.2005, 15:23

Eisloeffel

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also ich habe gerade noch etwas bemerkt
also partielle integration kann ich doch ausschließen, da x ja nun nicht mehr die Integrationsvariable ist.

also kann man ja den einen Teil nach vorne ziehen und man hat nur noch die e-Funktion im Integral.

und das wäre doch dann
$\begin{eqnarray*} 4r* e^ \frac{-u}{4r} \end{eqnarray*}$

also insgesamt, nach einsetzen der substitution

$\begin{eqnarray*} \frac{-16r}{x^{3}} * e^ \frac{-x^{4}}{4r} \end{eqnarray*}$

Es muss eine einfache Lösung geben, da das eigentliche Thema "Wellenfunktion" ist und der mathematische Hintergrund recht einfach sein sollte.

30.04.2005, 15:31

etzwane

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Es gibt tatsächlich eine geschlossene Lösung, staun, gib die Funktion unter dem Integral mal hier ein

30.04.2005, 18:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Eisloeffel
das habe ich dann in das eigentliche Integral eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }~\frac{4}{x^{3}}*e^\frac{-x^{4}}{4r} ~du \end{eqnarray*}$

So geht das übrigens nicht!!! Du hast doch mit u substituiert, dann musst du alle x auch durch u's ersetzen, es dürfen da nur noch u's und keine x's mehr stehen! Entweder du hast

$\begin{eqnarray*} \int~f(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

oder (nach der Substitution mit einer Funktion g)

$\begin{eqnarray*} \int~g(u)~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

, aber

$\begin{eqnarray*} \int~g(x)~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

geht natürlich absolut nicht! Ist das klar, hast du das verstanden?

@etzwane
Wenn ich das dort eingebe, wird mir die Gamma-Funktion ausgegeben. Vielleicht hab ich ja irgendwas falsch eingegeben verwirrt

01.05.2005, 11:34

Eisloeffel

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Ja das war mir dann später auch klar und habe es dann als eine Konstante behandelt und vor das Integral geschrieben.

Das geht doch, oder?

01.05.2005, 13:01

Mathespezialschüler

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Nein, das geht nicht!!!
Entweder du substituierst ganz oder gar nicht, aber so geht das nicht.
Substitutionsregel:

$\begin{eqnarray*} \int~f(x)~\mathrm{d}x=\int~f(g(u))\cdot g'(u)~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

Das heißt, wie oben schon gesagt, nach der Substitution dürfen da nur noch u's stehen und kein x mehr!!! Richtig wäre die Substitution so:

$\begin{eqnarray*} \int~\operatorname{e}^{\frac{-x^{4}}{4r}}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[4]{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x=\frac{1}{4\sqrt[4]{u^3}}~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \int~\operatorname{e}^{\frac{-u}{4r}}\cdot \frac{1}{4\sqrt[4]{u^3}}~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

So und nicht anders!!!

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