Punkte 2er Pyramiden bilden Körper K

30.12.2007, 12:33

Drapeau

Punkte 2er Pyramiden bilden Körper K

Hallo

,

hab erneut ein Problem und zwar habe ich folgende Aufgabenstellung, komme aber nicht ganz weiter.
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben sind die Pyramiden $\begin{eqnarray*} S_1 S_2 S_3 O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_1 T_2 T_3 O \end{eqnarray*}$ mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} S_1, S_2, S_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_1, T_2, T_3 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} O (0|0|0) \end{eqnarray*}$ .
Alle Punkte, die sowohl zur einen als auch zur anderen Pyramide gehören, bilden einen Körper mit 5 Eckpunkten. Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes X von K, der auf keiner der Koordinatenachsen liegt.
Berechnen Sie das Volumen des Körpers K.

Bis dato konnte ich lediglich die Eckpunkte berechnen:

$\begin{eqnarray*} S_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, das wären die Eckpunkte. Die konnte ich noch halbwegs berechnen und hoffe, dass sie auch stimmen.
Nur weiß ich jetzt nicht, wie es weiter gehen könnte, und hoffe jemand kann mir erneut unter die Arme greifen.

Mit freundlich Grüßen,
Drapeau

30.12.2007, 18:01

mYthos

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Woher sollen wir wissen, ob und wie du die Eckpunkte berechnet hast? Sind die nicht ohnehin gegeben? Ansonsten hast du keine weiteren Ideen zur Aufgabe beigesteuert. Das ist ein bisschen wenig.

Infolge der besonderen Angabe liegt einerseits Symmetrie vor, und andererseits schneiden einander die beiden Pyramiden in einer Geraden, die durch den gemeinsamen Punkt S3 geht. Diese Gerade hat einen weiteren Punkt auf dem von den beiden Pyramiden eingeschlossenen Körper, der in der x1-x2 - Ebene liegt und der der Schnittpunkt der beiden Geraden S1S2 und T1T2 ist.

Nun mach mal weiter ...

mY+

30.12.2007, 22:20

Drapeau

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Die Eckpunkte musste man anhand von zwei gegebenen Ebenen berechnen, was mir ja gelang.

Gegeben waren die Ebenen $\begin{eqnarray*} E: 4x_1+6x_2+3x_3-24=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F: 6x_1+4x_2+3x_3-24=0 \end{eqnarray*}$ . Ebene E schneidet die KO-Achsen in S1 S2 S3 und Ebene F in T1 T2 T3.

Nunja, demzufolge habe ich die Eckpunkte berechnet, komme jetzt aber überhaupt nicht weiter und hoffe nun das mir evtl. jemand ein wenig helfen könnte.

Eine Überlegung von mir wäre für S1 S2 etc. jeweils eine Geradengleichung aufzustellen und dann jeweils S1 mit S2 etc zu schneiden, aber ob das das Richtige ist, sei mal dahingestellt.

So far..

30.12.2007, 22:23

mYthos

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Sag' mal, hast du eigentlich meinen vorigen Post genau gelesen???

mY+

P.S.: Die Schnittpunkte mit den Achsen stimmen ...

[ V = 25,6 VE ]

05.01.2008, 19:36

Drapeau

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Nabend,

habe jetzt mit einem Freund das versucht zu rechnen, aber ich kam wirklich nicht auf die Lösung. Wahrscheinlich hab ich vieles durcheinander geschmissen,
das Problem ist nun, dass ich am Montag meine Aufgaben abgeben muss, damit ich durch die mündl. Zensur noch auf 5 Pkt komme.
Daher wäre ich euch sehr verbunden, wenn ihr mir das doch errechnen könntet. Es klingt jetzt ein wenig wie, macht meine Aufgaben, aber ich hab es wirklich versucht auch mit Freunden, aber haben nichts hingekriegt, und das ist meine letzte Aufgabe die ich noch zu rechnen habe..

Ich hoffe, jemand hat Verständnis und kann mir weiterhelfen unglücklich

MfG

06.01.2008, 02:08

mYthos

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Du jammerst nur, anstatt das weiter zu überlegen, was ich dir schon oben geschrieben habe. Warum willst du nicht mal darauf eingehen? Das erhöht nicht gerade die Bereitschaft der Helfer. Wenn du dabei dann nicht weiterkommst, kannst du doch konkret das Problem beschreiben und was du dir dazu bisher schon überlegt hast. Und findest du nicht, dass du dir vom 30.12. bis heute nicht ein bisschen viel Zeit gellassen hast?

Errechnen werden wir hier ausserdem nichts, das ist dein Job. Netterweise habe ich dir dennoch bereits das Ergebnis verraten. Und zum Darüberstreuen kriegst du jetzt noch eine Grafik, die dir vielleicht mehr Klarheit verschafft. Das eingefärbte Viereck O T1 R S2 ist die Basis des Restkörpers (der ja auch eine Pyramide ist). Welche Höhe hat diese? Alle Maßzahlen habe ich schon eingetragen. Es bleibt noch, den Punkt R zu berechnen und damit hat man auch die Fläche des Basisviereckes, mit der Höhe dann auch das Volumen.

mY+

06.01.2008, 10:26

Drapeau

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Ok, dann fangen wir mal an. Ich schreib mal auf, was ich bislang gerechnet hatte, was mir allerdings total falsch vorkam.

Gegeben war folgendes:

$\begin{eqnarray*} S_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus hab ich dann folgende Gleichungen aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das LGS ergibt dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} 6-6r=4-4s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4r=6s \end{eqnarray*}$

Dann habe ich wie folgt gerechnet:

4 r = 6 s | :6

(2/3) r = s

Dies dann eingesetzt:

6 - 6r = 4 - (8/3) r | + 6r
6 = 4 - (10/3) r | - 4
2 = -(10/3) r | / (-10/3)
-(3/5) = r

Dieses r nahm ich dann und rechnete somit s aus:

4 r = 6 s
-(12/5) = 6 s | :6
-(2/5) = s

Dann hab ich s = -(2/5) genommen - soweit ich weiß wäre es egal, ob ich nun s oder r nehme - und habe es in folgende Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ich erhielt dann folgenden Punkt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (28/5) \\ -(12/5) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur Kontrolle hab ich das Gnaze mit r gemacht, ich erhielt dann aber folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (48/5) \\ -(12/5) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also irgendwas muss ich dann ja falsch gemacht haben, ich weiß aber leider nicht was.

Ich wäre froh, wenn mir jemand den Fehler aufdecken könnte.

MfG

06.01.2008, 12:45

mYthos

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Zitat:

Original von Drapeau
(2/3) r = s
...
Dies dann eingesetzt:

6 - 6r = 4 - (8/3) r | + 6r
6 = 4 - (10/3) r | - 4
2 = -(10/3) r | / (-10/3)
-(3/5) = r
...

Vorzeichenfehler! 6 - 8/3 = +10/3

r = 3/5, s = 2/5 --> R(12/5; 12/5; 0)

mY+

06.01.2008, 14:52

Drapeau

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Perfekt!
Habs gesehen, dann war ja das was ich gerechnet hatte gar nicht falsch unglücklich

.
Bei dem Volumen hab ich auch das Gleiche raus,
bin jetzt fertig, vielen vielen Dank! Big Laugh

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Punkte 2er Pyramiden bilden Körper K

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