gruppen bestimmen |
| 30.04.2005, 17:41 | guesttt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| gruppen bestimmen bestimme alle gruppen der ordnung 12. also eine gruppe wäre ja dann schonmal Z modulo 12Z aber wie finde ich alle? Z steht für ganze zahlen... hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, mfg guest |
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| 30.04.2005, 18:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die abelschen Gruppen findest du mit dem Haupsatz. Wenn die zyklische Gruppe der Ordnung bezeichnet, dann sind das Als nichtabelsche Gruppen fallen mir spontan ein die Diedergruppe die alternierende Gruppe Ob es weitere gibt, weiß ich nicht auswendig. Da müßte man wohl Herrn Sylow zu Rate ziehen. |
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| 30.04.2005, 18:27 | guestt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke schonmal... hab gerade auch bemerkt das ich nur die abelschen gruppen bestimmen muss. aber wie bist du genau auf die abelschgen gruppen gekommen? könntest du das erklären? danke im vorraus.. mfg gueast |
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| 30.04.2005, 18:47 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe den Haupsatz der abelschen Gruppen verwendet. Wenn du den noch nicht kennst, mußt du mehr zu Fuß an die Aufgabe herangehen. Es ist jedoch schwer, dir zu helfen, da ich nicht weiß, auf welche Sätze über abelsche Gruppen du schon zurückgreifen kannst. |
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| 30.04.2005, 22:02 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei 12 Elementen kann man das auch noch gut 'zu Fuß' machen, und ich würde fast vermuten, das die Aufgabe so gemeint ist. Das heisst man macht eine vollständige Fallunterscheidung. Erste Vorüberlegung: Elemente in einer Gruppe der Ordnung 12 können Ordnung 1,2,3,4,6,12 haben. 1. Fall es gibt ein Element mit Ordnung 12 dann ist die Gruppe Z/12Z 2. Fall es gibt mindestens ein Element mit Ordnung 6 (und keins mit Ord 12) a habe Ordnung 6, damit sind schon die Elemente e, a, a^2, a^3, a^4, a^5 bestimmt. Sei b ein weiteres Element 2.1 b hat Ordnung 6 ... 2.2 alle übrigen Elemente haben Ordnung < 6 ... 3. Fall, Ord 4 ist die höchste Ordnung ... es wird relativ lang, aber es geht, die Gruppe ist eindeutig festgelegt, wenn alle Elemente und alle Verknüpfungen von Elementen feststehen. |
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| 01.05.2005, 14:25 | guest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja zu fuss könnte wahrscheinlich auch gehen... aber wo weisst du genau das bei einer ordnung von 12 alle elemente die ordnung 1,2,3,4,5,6,12 nur haben können? warum nicht auch z.B 7? und da ich nur abelsche gruppen bestimmen muss glaub ich schon das ich es eventuell auch mit einer anderen defintion es machen kann. wir haben auch den hauptsatz für endl. abelsche gruppen durchgenommen aber irgendwie scheint der mir nichts zu bringen bzw. geht es da nur um basen. hab aber eine anderen satz gefunden und zwar: jede e.e. abelsche gruppe (additiv) G ist isomorph zu einer Faktorgruppe Za1 x Za2 x ... x Zam x Z^r mit ai teilt a(i+1). insbesondere ist g zyklische gruppe. kann ich damit was anfangen? Za1 steht übrigens für Z modulo a1*Z , Z ... ganze zahlen wenn ich es zu fuss mache bekomme ich dann alle gruppen raus oder nur die abelschen? mfg guest |
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| 01.05.2005, 14:34 | guest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum 7 als ordnung nicht geht, hat sich geklärt... ord(x) muss ja die ordnung der gruppe teilen. können auch in einer gruppe verschiedene elemente verschiedene ordnung haben? |
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| 01.05.2005, 14:46 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
verschiedene Elemente einer Gruppe können verschiedene Ordnungen haben. zB für G=Z/4Z={e,a,a²,a³} da hat e Ordnung 1, a² Ordnung 2 und a und a³ haben jeweils Ordnung 4. mit dem Satz den du zitiert hast, geht die Aufgabe wirklich recht schnell. da G 12 Elemente hat, speziell endlich ist, ist r=0 die Gruppe Za1 x Za2 x ... x Zam hat a1*a2*...*am viele Elemente Damit kannst du recht schnell alle Möglichkeiten aufschreiben. Achtung, du kommst dabei nicht unbedingt auf die gleichen Darstellungen die Leopold angegeben hat, die Zerlegung in zyklische Gruppen ist nicht eindeutig. zB ist Z/2Z x Z/3Z = Z/6Z die Darstellung ist aber wieder eindeutig mit der Zusatzbedingung ai teilt a(i+1) |
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| 01.05.2005, 14:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Das Einselement hat z.B. immer die Ordnung 1. Wenn z.B. ein erzeugendes Element von ist, dann hat man die folgenden Ordnungen: |
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| 01.05.2005, 14:57 | guest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das heisst meine abeslchen gruppen wären mit 12 elementen wären: Z12, Z2 x Z6 , sind das etwa alle dann? aber mir ist auch gerade aufgefallen das es nur die isomorphen gruppen sind, gibt es nicht auch andere abelsche gruppen mit 12 elementen die nicht unbedingt isomorph zu Z12 sind? danke übrigens für deine hilfe |
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