Kniffliger Würfelbeweis

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Iva Auf diesen Beitrag antworten »
Kniffliger Würfelbeweis
Hi Leute!!
Also ich sitze jetzt schon seit geraumer Zeit an dieser Aufgabe und komme einfach nicht auf den Beweis...

Vielleicht könnt ihr mir helfen... Hilfe

Ein Würfel sei so in endlich viele Quader zerlegt, dass der Rauminhalt der Umkugel des Würfels so groß ist wie die Summe der Rauminhalte der Umkugeln aller Quader der Zerlegung. Man beweise, dass dann alle diese Quader Würfel sind.


Garnicht so einfach, gell? :P

Hoffe, jemand kommt drauf, wie man hier verfahren muss...

Vielen Dank im Voraus!
Wink
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kniffliger Würfelbeweis
Hmm...

Ich bin inzwischen soweit, dass die Volumina gleich sind, falls der Würfel in Würfel zerlegt wird. Aber das ist nicht was zu zeigen ist.

Das Gesamtvolumen der kleinen Umkugeln scheint jedenfalls nicht kleiner sein zu können als das der großen Umkugel.

Wie weit bist du inzwischen damit gekommen, Iva?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kniffliger Würfelbeweis
@SirJective

dann brauchst du doch nur noch zeigen dass es mit Nicht-Würfeln
nicht geht.


Zitat:
Das Gesamtvolumen der kleinen Umkugeln scheint jedenfalls nicht kleiner sein zu können als das der großen Umkugel.


Wenn das stimmt, dann kann es doch auch keine echten Quader
geben, denn die liefern immer ein ungünstigeres Innen-Außenverhältnis
... verwirrt
Wh1stl3r Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik. smile
Die Lösung würde mich jetzt aber auch interessieren. Einsendeschluss war ja schon.
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kniffliger Würfelbeweis
Zitat:
Original von SirJective
Ich bin inzwischen soweit, dass die Volumina gleich sind, falls der Würfel in Würfel zerlegt wird. Aber das ist nicht was zu zeigen ist.


Das ist ausreichend in Verbindung mit folgendem Satz:

Von allen Quadern mit gleichem Volumen hat der Würfel und der Würfel die kleinste Umkugel.

siehe auch: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=5844
SirJ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gustav,

wir nehmen also an, dass wir den großen Würfel in Quader zerlegen, von denen wenigstens einer nicht würfelförmig ist.
Zu jedem solchen Quader gibt es einen volumengleichen Würfel, der eine kleinere Umkugel hat.
Es gibt also eine Menge von Würfeln, deren Volumen jeweils einem der Quadervolumen gleich ist. Das Gesamt-Umkugelvolumen dieser Würfel ist gleich dem Umkugelvolumen des großen Würfels, und kleiner als das Gesamt-Umkugelvolumen der Quader.
QED?

Gruss,
SirJ
 
 
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde wie folgt argumentieren:

(1) Es existiert eine Zerlegung des Würfel W in andere Würfel, so dass die Summe der Volumina der Umkugel gleich dem Volumen der Umkugel von W ist.

(2) Von allen Quadern mit gleichem Volumen hat der Würfel und nur der Würfel die kleinste Umkugel.

Folgerung aus (1) und (2):

Für jede Zerlegung in Quader, die nicht alle Würfel sind, ist die Summe der Volumina der Umkugeln größer als das Volumen der Umkugel von W. Somit ist gezeigt: Ist ein Würfel derart in endlich viele Quader zerlegt, dass der Rauminhalt der Umkugel des Würfels so groß ist wie die Summe der Rauminhalte der Umkugeln aller Quader der Zerlegung, so sind alle diese Quader Würfel, q.e.d.
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