goniometr. Gleichung Teil 3

30.12.2007, 16:19

tim taler

goniometr. Gleichung Teil 3

Hallo zusammen,

habe folgende Aufgabe berechnet, komme aber nun nicht mehr weiter...

$\begin{eqnarray*} sinx(4cos^2x-1)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sinx(4*(1-sin^2x)-1)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sinx(4-4sin^2x-1)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sinx(3-4sin^2x)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3sinx-4sin^2x*sinx +1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4sin^3x+3sinx +1=0 \end{eqnarray*}$

wie kann ich hier nun weiter machen?

Gruss, tt

30.12.2007, 16:24

ushi

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
$\begin{eqnarray*} 3\sin(x)-4\sin^3(x)=\sin(3x) \end{eqnarray*}$

30.12.2007, 16:36

tim taler

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
Dankeschön, dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} 3sinx-4sin^3x =-1 |\to 3sinx-4sin^2x=sin3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin3x=-1 |\to *arcsin \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x=arcsin(-1) |\to :3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{arcsin(-1)}{3} \end{eqnarray*}$

x=-30°

Stimmt das?

30.12.2007, 16:42

Airblader

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3

Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} sin3x=-1 |\to *arcsin \end{eqnarray*}$

Achtung, du multiplizierst hier nicht(!) mit arcsin!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3x=arcsin(-1) |\to :3 \end{eqnarray*}$

Du ignorierst hierbei, dass es unendlich viele Lösungen gibt.

Zitat:

Stimmt das?

Setz es doch in die Ausgangsgleichung ein, dann siehst dus verwirrt

air

30.12.2007, 16:47

tim taler

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
wie macht man es richtig? Habe schon gemerkt das es nicht zur Lösungsmenge passt. Aber in meinem Buch stand micht mal der letzte Rechenschritt bzw. das letzte Additionstheorem das ich angewendet habe.
Wo finde ich sowas wie 3sinx -4sin^3x =sin3x?? Gibt es da eine "ausführliche" Sammlung von Additionstheoremen?

30.12.2007, 17:04

ushi

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
hier stehen relativ viele additionstheoreme. hab gerad in mein tw geschaut, da stehts auch. für die lösung im richtigen intervall musst du dir die funktion anschauen:

wie is denn die lösungsmenge?

30.12.2007, 17:34

tim taler

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
ok danke für den Link!

muss erst aber noch mein x bestimmen. Wie berechne ich jetzt

sin3x=-1

x=?

Die vorgegebene Lösungsmenge aus meinem Buch lautet

$\begin{eqnarray*} L=[x|x=\pi/2 +k \pi oder x=7\pi /6+2k\pi oder x=11\pi /6+2k\pi .k=0,\pm 1,\pm 2,...] \end{eqnarray*}$

30.12.2007, 17:41

ushi

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
das mit -30° klappt doch. das entspricht einem winkel im bogenmaß von $\begin{eqnarray*} x=-\frac {\pi }6 \end{eqnarray*}$

jetzt musst du nur noch die periode herausbekommen,...

30.12.2007, 17:50

tim taler

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
ich dachte airblader meinte da stimmt was nicht, wieso nicht mit arcsin multiplizieren??

Ok dann mit -pi/6 =-0.5235987756
Nun hat die Sinusfunktion die Nullstellen x=k*pi

Wie komme ich damit nun auf die Periode?

30.12.2007, 18:00

ushi

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
airblaider meinte lediglich, dass diese operation nicht multiplizieren heißt.

am ende hast du die funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{für funktionen der form: }~f(x)=\sin(ax)~\text{gilt für die Periode: }~\frac {2\pi }{\vert a\vert } \end{eqnarray*}$

30.12.2007, 18:05

tim taler

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
Und wie bringe ich jetzt x und Periode zusammen?

30.12.2007, 18:14

ushi

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
also wir wissen jetz wie groß x ist, damit y=-1 wird. dazu wissen wir wie lang eine periode ist. nach jeder vollen periode müsste für y der selbe wert rauskommen. also musst du nur zum errechneten x die periodenlänge addieren. also nachdem du das k noch reingepackt hast.

30.12.2007, 18:24

tim taler

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
$\begin{eqnarray*} k*-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$

so?

30.12.2007, 18:31

ushi

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
ne so:

$\begin{eqnarray*} -\frac {\pi }6+\frac 23k\pi ~\text{ mit }~k\in Z \end{eqnarray*}$

allerdings stimmt das mit deiner lösungsmenge nicht überein. da weiß ich aber auch nicht recht. verwirrt

edit: das würde mit der ersten halbwegs klappen mit k=1:

$\begin{eqnarray*} -\frac {\pi }6+\frac 23k\pi =-\frac {\pi }6+\frac 46\pi =\frac {\pi }2 \end{eqnarray*}$

noch periode anhängen:

$\begin{eqnarray*} \frac {\pi }2+\frac 23k\pi \end{eqnarray*}$

wenn man jetzt für k nur vielfache von drei einsetzt, kann man auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac {\pi }2+k\pi ~\text{ mit }~k\in Z \end{eqnarray*}$

so ähnlich klappt das auch mit den anderen.

30.12.2007, 20:13

mYthos

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Machen wir's doch auf einmal und kurz und bündig:

$\begin{eqnarray*} \sin 3x = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x = \frac{3 \pi}{2} + 2k \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} + k \frac{2 \pi}{3} \ \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

That's it. Jetzt kann man alle Lösungen durch Addition (mit entsprechendem k) erreichen!

mY+

30.12.2007, 20:23

ushi

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da war ich ja auch schon. aber in diesen lösungsmengen sind nicht alle lösungen enthalten.

30.12.2007, 20:53

mYthos

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Wer sagt denn das?

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + \frac{2 \pi}{3} = \frac{7 \pi}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + \frac{4 \pi}{3} = \frac{11 \pi}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + k \pi \end{eqnarray*}$ ist falsch, denn für k = 1 wäre $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray*}$ eine Lösung, was sie jedoch definitiv nicht ist. Richtig ist nur die von mir bereits angegebene Gesamtlösung, in welcher die angegebenen alle enthalten sind.

mY+

30.12.2007, 21:20

ushi

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RE: goniometr. Gleichung Teil 3
das is mir auch aufgefallen. aber das hier fand ich halt so komisch.

Zitat:

Original von tim taler
Die vorgegebene Lösungsmenge aus meinem Buch lautet

$\begin{eqnarray*} L=[x|x=\pi/2 +k \pi oder x=7\pi /6+2k\pi oder x=11\pi /6+2k\pi .k=0,\pm 1,\pm 2,...] \end{eqnarray*}$

und warum ODER? vielleicht is ja auch ein tippfehler drin. ich finds jedenfalls komisch.

30.12.2007, 21:43

mYthos

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Die "oder" - Verknüpfung ist schon richtig, wenn mehrere Lösungen in Frage kommen. Die Lösungsmenge ist die Vereinigung aller Teillösungen. Was hättest du sonst dafür einsetzen wollen?

Bemerkung: UND (wie man vllt. meinen könnte) ist falsch, denn die Teillösungen gelten nicht alle gleichzeitig.

mY+

30.12.2007, 21:50

ushi

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aja. aber warum hätte man nicht einfach:

$\begin{eqnarray*} x=\frac {\pi }2+k\frac {2\pi }3 \end{eqnarray*}$

stehen lassen können? das deckt doch alles ab.

30.12.2007, 23:16

mYthos

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Hätte man, aber man hat nicht ... Big Laugh

mY+

02.01.2008, 12:54

tim taler

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Erstmal danke ich euch für Eure Mühe.
Wenn ich das nun richtig verstehe, ist die im Buch vorgegebene Lösungsmenge nicht komplett und zudem falsch.

Die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + k\pi \end{eqnarray*}$ ist also aus der Lösungsmenge zu entfernen.
Die beiden anderen Lösungen, die Mythos, angegeben hat passen also mit k=1 und k=2. Da k aber Element aus Z, kann es ja auch -1,-99 oder 821 sein.
Also wäre es wie Mythos sagt nur richtig diese Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L=[x|x=\frac{\pi}{2} + k\frac{2\pi}{3},k=0, \pm 1,\pm 2,...] \end{eqnarray*}$ anzugeben, wenn man nicht alle k aufzählen will, womit die Lösungsmenge auch unendlich würde.
Vielleicht hat der Buchautor damit aber nur das "Oder" verdeutlichen wollen, keine Ahnung...

Zitat:

Und $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}{2}+k\pi \end{eqnarray*}$ ist falsch, denn für k = 1 wäre $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ eine Lösung, was sie jedoch definitiv nicht ist.

Kannst Du mir das Zitat bitte nochmal erläutern?

03.01.2008, 15:45

mYthos

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Setze die vermeintliche Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray*}$ (für k = 1) doch einfach ein, dann siehst du es:

$\begin{eqnarray*} \sin (3 \cdot \frac{3 \pi}{2}) = \sin \frac{9 \pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

(sollte aber lt. Gleichung -1 herauskommen)

mY+

05.01.2008, 08:21

tim taler

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alles klar danke, soweit verstanden, denn sin3x=-1 und nicht 1...

Schöne Grüße, tt

21.01.2008, 17:00

mYthos

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Ergänzend zu der Anzahl der Lösungen:

k muss eine GANZE Zahl sein, das ist besonders wichtig, also z.B. nicht 4,5. Ansonsten kann k alle positiven oder negativen ganzen Zahlen durchlaufen. Man wird aber in der Praxis dennoch nur jene k heranziehen, die die Lösungen in den ersten 4 Quadranten aufbauen; diese nennt man Hauptwerte. Das sind eben nur drei Lösungen. Alle anderen Lösungen kommen über die mehrfache Addition oder Subtraktion der Periodenlänge zustande. Es gibt also bei dieser Art von Gleichungen (goniometrische Gl.) immer unendlich viele Lösungen, dies wegen der Periodizität der Winkelfunktionen.

Mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} + k \frac{2 \pi}{3} \ \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ deckst du daher alle drei Lösungen innerhalb der Quadranten 1 - 4 als Hauptwerte (90°, 210°, 330°) und die durch Add. od. Subtr. aller weiteren ganzzahligen Vielfachen von 120° entstehenden unendlich vielen Lösungen ab.

Schöne Grüße
mY+

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