Stammfunktionen

01.05.2005, 11:00

Mathematiker84

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Stammfunktionen

Hallo Leute,

wie kann ich die Stammfunktion von folgenden 2 sehr ähnlichen Funktionen bilden:

f: (a,b)->IR

$\begin{eqnarray*} <br /> 1) f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x-a)*(b-x)}}<br /> 2) f(x)=\frac{1}{(x-a)^2*(b-x)^2} <br /> \end{eqnarray*}$

Gruß
Mathematiker

01.05.2005, 12:52

Mathespezialschüler

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Naja, als sehr ähnlich würde ich die nicht bezeichnen, abe egal.
1) Forme um, um dann nach einer Substitution die Lösung des Grundintegrals

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

2) Partialbruchzerlegung!

01.05.2005, 12:55

Mathematiker84

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zu 1)

Reicht das wenn ich bei der 1 das a und b durch eine Substiutuion ersetze?

zu 2)

Wir hatten leider nie Partialbruchzerlegung gehabt. Wie könnte man es denn noch machen?

Gruß
Mathematiker

01.05.2005, 13:26

Egal

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Zum Thema a und b substituieren. In der Regel wird man mit einer Substitution der Konstanten nicht weiter kommen. Vielleicht fängst du wie vorgeschlagen an mit ausmultiplizieren und guckst dann mal ob du es auf Eine Form bringen kannst die der von MSS entspricht.

01.05.2005, 13:36

Mathematiker84

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$\begin{eqnarray*} -x^2+ax+bx-ab = -x^2+x(a+b)-ab \end{eqnarray*}$
Das heißt ax+ab-ab müsste 1 entsprechen?

01.05.2005, 14:21

Mathespezialschüler

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Nein, das muss nicht gleich 1 sein!! Versuch das mal in die Form

$\begin{eqnarray*} -x^2+(a+b)x-ab=-(x-d)^2+e \end{eqnarray*}$

zu bringen, also eine quadrat. Ergänzung durchzuführen!!!

Ich wusste, dass das Probleme geben könnte, deshalb schreibe ich es nochmal um. Bring es also erst in die Form

$\begin{eqnarray*} -(x-d)^2+e \end{eqnarray*}$

und dann kannst du durch Substitution auf das Integral

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

kommen.

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01.05.2005, 15:08

Mathematiker84

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Irgendwie kommt das bei mir nicht ganz hin: Ich habe folgendes:

$\begin{eqnarray*} -x^2+(a+b)x-ab <=> .... <=> -(x-\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a+b}{2})^2 + ab <=> -(x-\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a^2+b^2}{2}) \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin richtig?

01.05.2005, 15:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathematiker84
$\begin{eqnarray*} -(x-\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a+b}{2})^2 + ab <=> -(x-\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a^2+b^2}{2}) \end{eqnarray*}$

Bis dahin alles richtig, aber der Schritt ist falsch, du musst die 2 auch quadrieren!

01.05.2005, 15:27

Mathematiker84

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Okay... Ich habe nun folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} -x^2+(a+b)x-ab <=> -(x-\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2 \end{eqnarray*}$

Nur wie krieg ich denn die 1 dahin, habe eigentlich gedacht ich substituiere $\begin{eqnarray*} u=(x-\frac{a+b}{2}) \end{eqnarray*}$ , damit hätte ich ja das $\begin{eqnarray*} -u^2 \end{eqnarray*}$ , aber so gehts wohl nicht oder?

01.05.2005, 17:49

Mathespezialschüler

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Warum schreibst du da eigentlich kein "="? Oben war doch nicht alles richtig, du hattest zwei Klammern vergessen:

$\begin{eqnarray*} -x^2+(a+b)x-ab=...=-\left(\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + ab\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\left(\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\right)=-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Du hast also jetzt

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2}}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Jetzt klammer in der Wurzel mal $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ aus!

01.05.2005, 18:57

Mathematiker84

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Und das mit dem Ausklammern soll gehen? Ich multipliziere den hinteren Teil des Terms mit dem Kehrwert von dem Term, was ich ausklammern will. Dadurch erhalte ich nur einen noch komplizierteren Ausdruck, da ich nichts kürzen kann traurig

traurig

01.05.2005, 19:10

Mathespezialschüler

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Ich weiß, es sieht so aus, als würde es komplizierter. Das liegt aber nur an den a's und b's. Also ich mach mal schnell das Ausklammern und Vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2}}~\mathrm{d}x=\int~\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\left(1-\left(\frac{x-\frac{a+b}{2}}{\frac{a-b}{2}}\right)^2\right)}}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int~\frac{1}{\frac{b-a}{2}\sqrt{\left(1-\left(\frac{2x-(a+b)}{b-a}\right)^2\right)}}~\mathrm{d}x=\frac{2}{b-a}\cdot \int~\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-(a+b)}{b-a}\right)^2}}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

So und jetzt substituiere $\begin{eqnarray*} u=\frac{2x-(a+b)}{b-a} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: a-b in b-a verwandelt.

01.05.2005, 19:17

AD

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RE: Stammfunktionen

Zitat:

Original von Mathematiker84
f: (a,b)->IR

Dann ist wohl eher a<b, und der Vorfaktor vorm Integral muss dann $\begin{eqnarray*} \frac{2}{b-a} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{a-b} \end{eqnarray*}$ sein.

01.05.2005, 19:25

Mathespezialschüler

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Auja, danke Arthur! Freude

Freude

Habs gleich verbessert.

01.05.2005, 21:04

Mathematiker84

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Okay, danke. Kann das sein, dass dann als Integralwert -PI bzw PI rauskommt?
Die umgerechneteten Grenzen sind bei mir 1 und -1.

Kann ich die 2 auch durch Substitution lösen? PZB haben wir nie gehabt.

Gruß
Mathematiker

01.05.2005, 21:43

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathematiker84
Okay, danke. Kann das sein, dass dann als Integralwert -PI bzw PI rauskommt?

Es kann doch nur ein Wert rauskommen! Und außerdem hast du uns noch gar keine Grenzen angegeben!

01.05.2005, 21:49

Mathematiker84

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Huch grenzen sollen a(untere) und b sein. Da kommt PI raus bei mir.

Wie ist das mit der 2) gibts da noch ne Alternative zur PBZ?

01.05.2005, 22:07

Mathespezialschüler

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pi ist richtig!

Zur zweiten: Probiers mal mit partieller Integration!

$\begin{eqnarray*} \int~u(x)v'(x)~\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int~u'(x)v(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{(x-a)^2}\cdot \frac{1}{(x-b)^2}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x)=\frac{1}{(x-a)^2},\qquad v'(x)=\frac{1}{(x-b)^2} \end{eqnarray*}$

Für das entstehende Integral $\begin{eqnarray*} \int~u'(x)v(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ dann nochmal partiell integrieren!

01.05.2005, 22:34

Mathematiker84

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Ich werd mein Glück probieren.
Vielen dank auf jeden Fall Mathespezialschüler Wink

Wink

*edit* scheint wohl doch komplizierter zu sein so, ich hab mir mal eben versucht die PBZ selber beizubringen. Habe mir ein paar leichte Beispiele angeschaut und glaub ich auch verstanden. Kann es sein, dass bei der Anwenung der PBZ hier es zu Riesentermen kommt beim Koeffizientenvergleich? Ich habe alles ausmultipliziert um nach den Potenzen von x zu sortieren. (A+C)x^4+.... Dabei kommen schon ziemlichl lange Terme vor.
Es läuft dann auf ein Gleichungssystem mit 4 Ungeraden und 4 Gleichungen hinaus oder? Nur um dies zu lösen muss man doch bestimmt an der einen oder anderen Stelle vorraussetzen, dass a und b ungleich 0 sind?

Gruß
Mathematiker

03.05.2005, 01:07

Mathespezialschüler

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Ich denke, die partielle Integration dürfte in diesem Fall einfacher sein als die PBZ. Ich denke nicht, dass man etwas über a und b voraussetzen muss.

03.05.2005, 20:09

Mathematiker84

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Hmm und wie soll ich das v' integrieren? Dazu braucht man doch wieder irgendwas verwirrt

verwirrt

03.05.2005, 20:12

iammrvip

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Das gibt es sowas Feines, dass nennt man lineare Substitution (bitte etwas runterscrollen zu "Spezialfälle der Substitution"! Ich hab das bei Wikipedia mal hingeschrieben deshalb weiß ich gleich wo es steht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.)

03.05.2005, 20:20

Mathematiker84

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Danke aber ist das hier nicht was anderes? Die Stammfunktion ist von 1/x ist ja log(x) nur leider ist dadrin ja nochmal was mit x, d.h. wenn ich dann 1/(das was nach der Ableitung der Klammer entsteht) mache, kommts nicht auf, denn beim Ableiten muss man ja die Produktregel anwenden.

03.05.2005, 20:24

iammrvip

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Es ist doch aber:

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{(x-b)^2} = (x - b)^{-2} \end{eqnarray*}$

und die Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x^2}\mathrm dx = -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

03.05.2005, 22:37

Mathematiker84

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also ich kriegs nicht doppelter partieller integration nicht hin... einmal partiell geht , aber wieso sollte es dann mit dem 2. mal gehen? die potenzen erhöhen sich nur ...

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