Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert

01.05.2005, 11:52	carolibe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert Beim Lottospiel "6 aus49" sind die kleineren Gewinnzahlen bei den Tippern beliebter als die größeren , zB. werden gerne Geburtsmonate (1,2,....12) angekreuzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind k der Gewinnzahlen kleiner als 13 (k= 0,1,2,...6)? Bestimme die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung und deren Erwartungswert. Gibt es eine Formel mit der ich hier die Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen kann, und wennn ja wie kommt man auf so eine Formel???
01.05.2005, 14:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X = \text{Anzahl der Gewinnzahlen } \leq 12 \end{eqnarray}$ hypergeometrische Verteilung gute Zahlen: 1,2,3,...,10,11,12 (12 Stück) böse Zahlen: 13,14,15,...,47,48,49 (37 Stück) $\begin{eqnarray} P(X=k) = \frac{{{12} \choose {k}} \cdot{{37} \choose {6-k}}}{{{49} \choose 6}} \, , \ \ \mathcal{E}X = 6 \cdot \frac{12}{49} \end{eqnarray}$
01.05.2005, 14:54	carolibe	Auf diesen Beitrag antworten »
danke,... aber ich bversteh nich wie du auf die formel gekommen bist, also die steht auch in meinem mathebuch bei der lösung der aufgabe, aber ich check nichn wie man auf diese formel kommt !!! bitte erklären...wenn es geht, das wäre suuuuper lieb
01.05.2005, 15:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir den Fall $\begin{eqnarray} \{X=2\} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei einer Lottoziehung genau 2 Zahlen zwischen 1 und 12 (und damit genau 4 zwischen 13 und 49) sind. Da alle Ziehungen gleichwahrscheinlich sind, kann man mit der Laplace-Annahme rechnen: $\begin{eqnarray} P(X=2) = \frac{\text{Zahl der günstigen Ausgänge}}{\text{Zahl der möglichen Ausgänge}} \end{eqnarray}$ Der Nenner ist schnell erledigt: Man zieht 6 Zahlen aus denen von 1 bis 49. Auf die Reihenfolge kommt es nicht an. Das ist eine Grundformel der Kombinatorik: $\begin{eqnarray} {49 \choose 6} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten Und beim Zähler geht es so: Man wählt zunächst 2 Zahlen aus den zwölf guten Zahlen, z.B. $\begin{eqnarray} \{3,10\} \end{eqnarray}$ . Um jetzt zu einer vollen Ziehung zu kommen braucht man noch 4 Zahlen aus den bösen Zahlen, z.B. $\begin{eqnarray} \{14,23,24,41\} \end{eqnarray}$ . Für die Wahl der guten Zahlen hat man "2 aus 12" Möglichkeiten. Für jede (!) dieser Wahlen hat man dann aber noch "4 aus 37" Möglichkeiten, böse Zahlen für die volle Ziehung zu ergänzen. Nach dem Multiplikationsprinzip der Kombinatorik heißt das: $\begin{eqnarray} {{12} \choose 2} \cdot {{37} \choose 4} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten

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