Unterhalbstetig

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01.05.2005, 12:40

defatigation

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Unterhalbstetig

Hallo!
Kann mir jemand bitte (möglichst anschaulich) erklären, was man genau unter unterhalbstetig versteht.
Danke

01.05.2005, 13:16

Frooke

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Der Begriff sagt mir nichts… Meinst Du nicht eher linksseitig stetig bzw. rechtsseitig stetig?

01.05.2005, 13:34

Mathespezialschüler

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Nein, meint er wohl eher nicht.
Bei einer in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetigen Funktion f kannst du ja für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ finden, sodass f in dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Streifen um $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ liegt ( $\begin{eqnarray*} f(x_0)-\varepsilon<f(x)<f(x_0)+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ) für alle x mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ .
Unterhalb stetig bedeutet nun einfach, dass f über oder in dem Streifen liegt, also nicht dadrunter. f kann dann also ganz im Streifen liegen, aber auch drüber, es muss also nicht mehr $\begin{eqnarray*} f(x)<f(x_0)+\varepsilon \end{eqnarray*}$ gelten, sondern nur noch die andere Ungleichung. Also:
Für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , sodass f in nicht unter dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Streifen um $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ liegt, also $\begin{eqnarray*} f(x_0)-\varepsilon<f(x) \end{eqnarray*}$ für alle x mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ .

Oberhalb stetig wird entsprechend definiert.

01.05.2005, 13:37

iammrvip

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Zitat:

Original von Frooke
Der Begriff sagt mir nichts… Meinst Du nicht eher linksseitig stetig bzw. rechtsseitig stetig?

Denke mal an die Gauss'sche Klammerfunktion Augenzwinkern

01.05.2005, 13:49

Frooke

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@iammrvip und MSS: Alles klar und vielen Dank!
@defatigation: Sorry für die Verwirrung!

01.05.2005, 13:53

Mathespezialschüler

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Und hier noch ein Bildchen dazu. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ müsst ihr euch dazu denken. Bedeutung (wobei $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ immer noch viel kleiner werden muss, es muss also für alle solche Streifen gelten!):

Liegt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ganz im grünen Bereich, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig.

Liegt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ganz im grünen und gelben Bereich, also nicht im roten Bereich, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unterhalbstetig.

Liegt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ganz im grünen und roten Bereich, also nicht im gelben Bereich, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ oberhalbstetig.

01.05.2005, 14:03

defatigation

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Vielen Dank für die Mühe...wie kann ich denn jetzt zeigen, dass die unterstetige Funktion f auf M dort (also auf M) ein Minimum annimmt?

01.05.2005, 14:13

Mathespezialschüler

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Also man kann ja zeigen, dass eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge ein Maximum und ein Minimum annimmt. Falls M hier auch kompakt ist, brauchst du nur den Teil des Beweises für das Minimum dieses angesprochenen Satzes übernehmen.

01.05.2005, 17:14

defatigation

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ja, aber es gilt ja, dass eine Funktion in x genau dann stetig ist, wenn sie dort halbstetig von oben und von unten ist. ich habe ja jetzt nur eine unterhalbstetige funktion auf m oder lässt sich der satz trotzdem anwenden?

01.05.2005, 18:13

Mathespezialschüler

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Beim Beweis des oben angesprochenen Satzes macht man folgendes:
Man will beweisen, dass eine stetige Funktion auf kompaktem M ein Minimum annimmt. In dem Beweis dafür benutzt man aber nur die Halbstetigkeit nach unten. Für den Beweis für das Maximum braucht man die Halbstetigkeit nach unten.
Insgesamt braucht man die Stetigkeit also nur, weil man beides auf einmal beweist. Aber dür die einzelnen Aussagen (Maximum und Minimum) braucht man nur die einzelnen Aussagen über die Halbstetigkeit.

01.05.2005, 20:59

defatigation

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ok,werds damit versuchen.

noch eine frage: kennt jemand eine unterhalbstetige funktion, die auf einem kompakten metrischen raum kein maximum annimmt?

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Unterhalbstetig

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