Konvergenz von Folgen

01.05.2005, 22:41

Ledro

Konvergenz von Folgen

Hallo,

ich soll folgende Folgen auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert bestimmen:

bei der ersten bin ich soweit gekommen, aber ich vermute, es ist noch ein Fehler drin:
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(3n-1)^2(n+1)^2}{(2-n^2)^3 + n^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(3n-1)(n+1)}{(2-n^2)(1-n)+ n^2+n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\frac{3}{n} + \frac{2}{n^2} - \frac{1}{n^3}}{1-\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}} \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine nullfolge ist, folgt:

$\begin{eqnarray*} ->\frac{0+0-0}{1-0+0} \end{eqnarray*}$ .
Diese Folge konvergiert gegen Null. Ist das richtig????

und bei der zweiten hänge ich total:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n^2 + (-1)^nn}{(n+2)^2} \end{eqnarray*}$

ich würde sagen, da $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ divergiert, divergiert die ganze Folge. Oder kann man das nicht so allgemein behaupten?

Ich freue mich über jeden Tipp von Euch, danke!
ciao Ledro

01.05.2005, 23:21

etzwane

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Zähler und Nenner ausmultiplizieren, dann Zähler und Nenner durch die am höchsten vorkommende Potenz von n teilen und die Grenzwertbetrachtung durchführen.

Ich erhalte für n -> oo zur Kontrolle:
bei der 1. Aufgabe: a = 9/6
bei der 2. Aufgabe: a = 2

02.05.2005, 07:58

Ledro

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hmmm, danke, aber ich komme leider nicht auf das ergebnis 9/6.
kann man nicht vorher für den gesamten Bruch die Wurzel ziehen (das habe ich in meinem Ansatz versucht), oder muss ich wirklich alles nacheinander ausrechnen???

und wie gehe ich bei der 2. aufgabe mit (-1)^nn um? ich bin hierbei leider völlig überfragt verwirrt

gruß und danke, ciao Ledro

02.05.2005, 08:29

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von Ledro
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(3n-1)^2(n+1)^2}{(2-n^2)^3 + n^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(3n-1)(n+1)}{(2-n^2)(1-n)+ n^2+n} \end{eqnarray*}$

Verrate doch mal, wie du von der 1. zur 2. Zeile gekomme bist. Ansonsten erstmal etzwane's Tipp "Zähler und Nenner ausmultiplizieren, dann Zähler und Nenner durch die am höchsten vorkommende Potenz von n teilen" anwenden.

02.05.2005, 09:06

Ledro

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RE: Konvergenz von Folgen
ich bin folgendermassen vorgegangen: wahrscheinlich war es idiotisch, aber ich dachte, ich könnte den Bruch damit verkürzen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(3n-1)^2(n+1)^2}{(2-n^2)^3 + n^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(3n-1)^2(n+1)^2}{(2-n^2)^2(2-n^2) + n^6} \end{eqnarray*}$

dann die Wurzel jeweils ziehen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{(3n-1)(n+1)}{(2-n^2)\sqrt{2-n^2} + \sqrt{n^6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(3n-1)(n+1)}{(2-n^2)(1-n)+ n^2+n} \end{eqnarray*}$

ich vermute, da sind wohl einige fehler drin??
ich habe mal versucht, den nenner wenigstens auszumultipliziern (ich habe mich an den zähler einfach noch nicht getraut) und da kam ich auf: 8 + 6n^4 - 12 n^2, was ja wohl auch falsch sein muss.
und nun??? oh jeee!!! DANKE für jeden weiteren Tipp, ciao Ledro

02.05.2005, 09:16

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von Ledro
ich vermute, da sind wohl einige fehler drin??

Ja, da sind etliche Fehler. Erstmal ist im allgemeinen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{eqnarray*}$
Dann fragt sich, wie du von $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^6} \end{eqnarray*}$ auf n² + n kommst. Und da ist noch ein Wurzelrechnungsfehler. Mir scheint, du hast etliche Verständnisprobleme mit der Wurzelrechnung.
Und obendrein kann man bei Folgen nicht einfach mal die Wurzel ziehen so nach dem Motto: Ich habe eine Folge
$\begin{eqnarray*} a_n = (n + 1)^2 \end{eqnarray*}$
und weil heute so schön die Sonne scheint, ziehe ich mal die Wurzel und erhalte:
$\begin{eqnarray*} a_n = (n + 1) \end{eqnarray*}$
Das ist eine ganz andere Folge. Wurzel ziehen ist nicht Kürzen!!!
Du mußt wirklich die Klammern ausmultiplizieren. Dein Ergebnis für den Nenner ist richtig, falls du schon das n^6 schon verrechnet hast. Warum sollte der falsch sein?

02.05.2005, 10:32

Ledro

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RE: Konvergenz von Folgen
das leugne ich ja nicht, dass ich etliche lücken habe... ich bekomme sie leider nicht alle auf einmal geschlossen..;-((
sorry, lieben dank aber für die viele geduld!
also: ich habe jetzt folgendes ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} =\frac{(9n^2 -6n +1)(n^2 + 2n +1)}{(4-4n^2 + n^4)(2-n^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(9n^4 + 12n^3-2n^2-4n+1)}{(6n^4-12n^2+8)} \end{eqnarray*}$

okay, und jetzt dividiert man durch die höchste potenz. alles klar.
DANKE! ciao Ledro

02.05.2005, 11:14

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von Ledro
okay, und jetzt dividiert man durch die höchste potenz. alles klar.

genau genommen kürzt man durch die höchste Potenz. Das hast du sicherlich auch gemeint.
Kommst du jetzt auch mit der anderen Aufgabe klar?

02.05.2005, 11:47

Ledro

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RE: Konvergenz von Folgen
ähm, ja, hatte ich natürlich gemeint; hab' mich mal wieder verkehrt ausgedrückt. danke! ich werd's schon noch lernen...:-)

ja, glaube schon: denn ich würde sagen, dass nach dem ausmultiplizieren und dem kürzen mit der höchsten potenz
$\begin{eqnarray*} \frac{2+\frac{(-1)^n}{n}} {1+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2} } \end{eqnarray*}$ also 2 herauskommt, da die Brüche wegen 1/n je eine Nullfolge darstellen.

Danke Dir nochmal, ciao Ledro

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