Körper zeigen

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dieter83 Auf diesen Beitrag antworten »
Körper zeigen
Sei , und für alle (a,b), (a',b') K sei definiert:




Zeigen Sie, daß ein Körper ist.

Ich komme nicht so richtig klar mit der Aufgabe. Z.B. dieses kenne ich als "Hintereinanderausführung". Aber was bedeutet das?
Crotaphytus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper zeigen
Zitat:
Z.B. dieses kenne ich als "Hintereinanderausführung". Aber was bedeutet das?


Vergiss das einfach mal, was das sein könnte. + und sind einfach irgendwelche Verknüpfungen, deren genaue "Funktionsweise" in den Definitionen erklärt ist. Wie genau das Zeichen dieser Verknüpfungen aussieht ist egal, und es ist auch egal ob es das gleiche Zeichen in irgendeinem anderen Zusammenhang mit anderer Bedeutung gibt. Wichtig ist nur das, was in der Definition steht.

Und an Hand dieser Definitionen musst du jetzt eben die Körpereigenschaften zeigen. Sprich du solltest dir erst einmal überlegen, was alles erfüllt sein muss, dass man einen Körper vorliegen hat, und das dann nach und nach zeigen.
 
 
dieter83 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem, was ich in einem Buch gelesen hab, geht es wohl um die komplexen Zahlen da K := .
Crotaphytus Auf diesen Beitrag antworten »

Ist schon richtig, das was da definiert wurde sieht schwer nach den Rechenregeln für komplexe Zahlen aus. Allerdings ist das für die Aufgabe erst mal vollkommen egal, ich könnte theoretisch auch eine Verknüpfung definieren, die folgendermaßen aussieht:



Das hat dann mit den komplexen Zahlen nicht mehr so viel zu tun, könnte unter Umständen aber auch ein Körper sein - müsste man halt gucken... Augenzwinkern

Was ich damit sagen will: Es ist absolut egal, was das jetzt bedeuten könnte, wo die Aufgabe herkommt usw. Das einzige, was für dich relevant ist ist das, was dasteht, sprich diese Definitionen. An Hand von denen musst du nachweisen, dass hier ein Körper vorliegt. Die Aussage "Das sind die komplexen Zahlen und da steht, dass ein Körper ist" wird als Beweis kaum durchgehen... Augenzwinkern
dieter83 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will jetzt erst die Gesetzte der Addition zeigen.
Ich fang mit Assoziativität an. Leider weiß ich nicht wie ich anfangen soll...
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dafür nimmst du drei Elemente aus K: (a, b) (c, d) und (e, f)
Dann berechnest du ((a,b)+(c,d))+(e, f) und (a, b)+((c, d)+(e, f))
Und dann zeigst du, dass die beiden gleich sind. Dabei darfst du verwenden, dass die beiden Komponenten der Summen relle Zahlen und, und von denen weißt du, dass das Assotiativgesetz gilt.

Alles klar?
Gruß
Anirahtak
dieter35 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt:

(a,b),(c,d),(e,f) aus K:

(a,b)+((c,d)+(e,f)) = ((a,b)+(c,d))+(e,f)
(a,b)+(c+e,d+f) = (a+c,b+d)+(e,f)
(a+(c+e),b+(d+f)) = ((a+c)+e,(b+d)+f)

Das ist aber noch kein Beweis sondern nur eine Umformung. Wie beweise ich jetzt, dass beides gleich ist?
dieter35 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Addition hab ich wohl hiunbekommen. Jetzt zur Multiplikation. Ich hab beide Seiten von x*(y*z) = (x*y)*z ausgerechnet, doch ohne Kommutativität, die ich ja noch nicht bewiesen hab, ist das kein Beweis. Wie Beweise ich nun, dass beide Seiten gleich sind ???
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib doch mal deine Schritte hin. Dann kann ich dir besser weiterhelfen.

Gruß
Anirahtak
dieter35 Auf diesen Beitrag antworten »

Assoziativgesetz bezüglich der Multiplikation:

((a,b)*(c,d))*(e,f) = (a*c - b*d,a*d + b*c)*(e,f) =
(a*c*e - b*d*e - a*d*f - b*c*f, a*c*f - b*d*f + a*d*e + b*c*e)

(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(c*e - d*f,c*f + d*e) =
(c*e*a - d*f*a - c*f*b - d*e*b, c*e*b + d*f*b + c*f*a - d*e*a)

Dei Seiten sind doch nur gleich, wenn jetzt z.B. a*c*e = c*e*a ist, also kommutativität. Die hab ich doch aber noch nicht bewiesen. Was mach ich nu? :-)
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

a,b,c,d,e,f sind doch reelle Zahlen und nicht Elemente aus K. Und in IR weißt du doch, dass das Kommutativgesetz gilt!
swerbe Auf diesen Beitrag antworten »

was ich meine was man auch noch zeigen sollte ist, dass das 0 Element vom 1 Element verschieden ist (wenn dies nicht schon in einem der teilbeweise geschehen sollte...)

gruß swerbe
dieter35 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... ja, ok. Das stimmt. Damit komm ich irgendwie noch nicht richtig klar... :-)
Das wird mit dem inversen Element dann wahrscheinlich genauso sein, oder? Dass ich die beiden Seiten zeige und die Gleichheit gilt wegen a,b aus IR?

Vielen Dank, dass wenigstens du mir antwortest...
dieter35 Auf diesen Beitrag antworten »

@swerbe: Du meinst also, dass die beiden neutralen Elemente nicht gleich sind? Wie wolltest du das denn machen?
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dieter35
Das wird mit dem inversen Element dann wahrscheinlich genauso sein, oder? Dass ich die beiden Seiten zeige und die Gleichheit gilt wegen a,b aus IR?


Leider kenn ich deine Gedankengänge nicht, und weiß nicht, was du dir zu der Existenz des Inversen schon überlegt hast.
Am besten gibst du für ein allgemeines Elemten (a,b) ungleich 0 das Inverse an.
Der Ansatz wäre (a,b)(a',b')=(1,0), also zwei Gleichungen
aa'-bb'=1 und ab'+a'b=0
Das löst du dann nach a' und b' auf. Bedenke, dass a oder b ungleich 0 ist.

Bitte bitte smile

EDIT: Dass das Einselement (1,0) ungleich dem Nullelement (0,0) ist, gilt weil in IR 0 ungleich 1 ist. Fertig.
dieter35 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist:



und



richtig`?
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das stimmt leider nicht.

Du kannst eine Ergebnis selbst kontrollieren, indem du es mit (a, b) multiplizierst und schaust ob (1,0) rauskommt.

Gruß
Anirahtak
dieter35 Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem Mathe-Buch steht, dass die Umformung folgende wäre:

abb' = a²a'-a sowie

abb'= -a'b²

was wiederum ergeben würde:

a'(a² + b²) = a

Dies heißt dann:

und

dieter35 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehen tuh' ich das aber nich (zumindest nicht nachvollziehbar für mich)...
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

Also wir haben
I aa'-bb'=1
II ab'+a'b=0

Außerdem soll (a,b) ungleich (0,0) sein. Falls b=0 ist dann a ungleich 0 und wir erhalten in I a'=1/a und in II b'=0

Im folgenden sei also b ungleich 0:
aus II erhalten wir a'=(-ab')/b
Das setzen wir in I ein:
-(a²b')/b -bb'=1

Das lößt du jetzt nach b' auch und bekommst das von dir angegebene Ergebnis.

Gruß
Anirahtak

Ach ja: Wenn du dich anmeldest, dann kannst du deine Beitrage editieren wenn dir noch was einfällt und du musst keine Doppelposts machen, die hier verpönt sind.
ellocko Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt auch angemeldet.

Das gleiche muss ich dann doch noch mal machen um a' zu errechnen, oder?
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen

Naja nicht ganz. Wir hatten doch unterwegs mal die Gleichung
a'=(-ab')/b

Darein setzt du jetzt dein b' ein und schon bist du fertig.

Gruß
Anirahtak
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