Ähnlichkeits-DGL

02.05.2005, 15:28

DanielE

Ähnlichkeits-DGL

Hallo möchte folgende Aufgabe lösen, komme aber nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} y'=(x+y)^{-2} \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich Substituiert: z=x+y

--> $\begin{eqnarray*} \frac{z}{x}=y \end{eqnarray*}$

Dann nach x ableiten:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{z' \cdot x -1 \cdot z}{x^{2} } \end{eqnarray*}$
Also:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{z' \cdot x - z}{x^{2} } \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich aber irgendwie nicht weiter ...

02.05.2005, 15:39

klarsoweit

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RE: Ähnlichkeits-DGL
Wenn du z=x+y substituierst, wie kommst du dann auf y = z/x ?

02.05.2005, 15:43

DanielE

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Ach mist,

y'=z'-1 ?

Wie gehe ich denn jetzt weiter vor ? Stehe irgendwie auf dem Schlauch !

02.05.2005, 15:59

klarsoweit

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OK. Dann setz deine Substitution mal ein. Was steht dann da?

02.05.2005, 16:08

DanielE

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ich habe nochml rumgerechnet und kome auf die folgende Ausdrücke:

z=x+y

z'=1+y'

$\begin{eqnarray*} z'=1+\frac{1}{(x+y)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'=1+\frac{1}{z^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'=\frac{z^{2}+1}{z^{2}} \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} z' \cdot z^{2}=z^{2}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z' \cdot z^{2}}{z^{2} } \end{eqnarray*}$

--> z'=1

irgendwie komisch, ich habe es jetzt auf verschiedene Weisen gelöst und 3 Ergebnisse raus. Die obige Lösung ist meine erste. Dann kommt Lösung zwei als:

$\begin{eqnarray*} z'=1+\frac{1}{z^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' \cdot z^{2}=z^{2}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' \cdot z^{2}-z^{2}=1 \end{eqnarray*}$

und nun noch der dritte Ansatz:

$\begin{eqnarray*} z'=\frac{z^{2}+1 }{z^{2}} \end{eqnarray*}$

Nun: Wenn ich etwas mit dem Kehrwert multipliziere, komt immer 1 raus also -->

$\begin{eqnarray*} z' \cdot \frac{z^{2}}{z^{2}+1}=1 \end{eqnarray*}$

3 verschiedene Rechnungs- bzw. Umstellungsarten und 3 verschiedene Ergebnisse. An mindesten 2 Stellen muss ja ein Fehler vorliegen. MAche jetzt den ganzen Tag Mathe und bin wahrscheinlich zu blind um den bzw. die Fehelr zu sehen. Sieht einer von euch den Fehler ?

02.05.2005, 17:18

DanielE

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Also, ich gehe mal davon aus, dass die dritte Lösung die richtige ist (kürzester Lösungsweg). Ich weiß zwar nicht wo der Fehler in den beiden anderen stecken soll, aber villeicht findet ihr ja noch die Fehler.

Ich müsste doch jetzt die Stammfunktion bilden können ? Komme dann auf das Ergebnis y-arctan(x+y)=c (nach Rücksubstitution)

02.05.2005, 19:34

iammrvip

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Zitat:

Original von DanielE
--> $\begin{eqnarray*} z' \cdot z^{2}=z^{2}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z' \cdot z^{2}}{z^{2} } \end{eqnarray*}$

--> z'=1

Das ist unklar verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} z' \cdot z^{2}-z^{2}=1 \end{eqnarray*}$

Das ist doch das Gleich wie der dritte Ansatz. Du musst nur äquivalent umformen Augenzwinkern

Zitat:

Original von DanielE
Ich müsste doch jetzt die Stammfunktion bilden können ? Komme dann auf das Ergebnis y-arctan(x+y)=c (nach Rücksubstitution)

Darauf komme ich auch Freude

.

Stimmt.

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