Übung zu linearer Abbildung - Injektivität

31.12.2007, 15:21

schmida

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Übung zu linearer Abbildung - Injektivität

Ich habe folgende Aufgabe, wo ich weiss dass die Antwort A und D richtig sind. Leider verstehe ich nicht, wieso genau diese 2. Auf welchen Theorem oder Satz basieren diese Antworten. Vielen, vielen Dank. Leider ist die Aufgabe in Englisch, aber leider ist der ganze Kurs auf Englisch.

Nun hier die Aufgabe mit den möglichen Antworten:

Let V be a vector space of dimension 6, let $\begin{eqnarray*} U \subset V \end{eqnarray*}$ be a subspace of dimension 2 and let W be a vector of dimension 4. Let T:V--->W be a linear application.

A) T cannot be injective but T(U):U---->W can be injective.
B) If T is surjective then T(U):U---->W is surjective
C)T can be bijective and then necessarily T(U):U---->W is bijective
D)If U=KerT then there exists a subspace $\begin{eqnarray*} U' \subset V \end{eqnarray*}$ such that T(U):U'---->W is invertible.

Nun hoffe jemanden is klar wieso A und B die einzigen richtigen Antworten sind. Vielleicht kann mir jemand von euch ja einen Link angeben, wo ich dazu Infos finde. Was surjektiv und injektiv bedeutet is mir einigermaßen klar, aber in diesem Bsp aus der Dimension auf die Injektivität zu schließen ist mir nicht klar. Ich weiss zwar dass falls dim Ker(T)>0, dann ist die Abbildung nicht injektiv, aber leider verstehe ich diese Aufgabe nicht!
vielen dank
arnold

31.12.2007, 15:25

tigerbine

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RE: Übung zu linearer Abbildung - Injektivität
V ist also ein VR der Dimension n=6. U ist ein echter Untervektorraum von V mit der Dimension 2. Fehlt bei W nicht ein "Space"? W ist ein VR der Dimension m=4 und wir betrachten die lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} T:~V \to W \end{eqnarray*}$

Was soll denn nun richtig sein. A D oder A B. Etwas mehr Sorgfalt, bitte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.12.2007, 15:31

schmida

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vielen dank für die schnelle Antwort,
also A und D sind richtig oder sollten es zumindest laut Lösungsblatt sein, nur warum!!!

sorry wg meiner Tippfehler:

dim V = 6
dim U =2 (Unterraum)
dim W=4 (Vector space of dimension 4)

danke
arnold

31.12.2007, 15:33

tigerbine

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Nun gehen wir die Antworten doch einmal nacheinander durch.

"T kann nicht injektiv sein". Das ist richtig. Warum?

31.12.2007, 15:44

schmida

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liegt es etwa daran, dass die Ursprungsmenge dimV=6 hat und die Bildmenge nur dim 4 hat, somit kann das nicht injektiv sein, denn jeder Vektor und der Bildmenge darf nur einen Vektor in der Ursprungsmenge haben.

Ist diese Überlegung richtig?

31.12.2007, 15:47

tmo

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ja darauf basiert es letztendlich, aber wenn du einen formalen beweis führen sollst, hier eine anleitung:
folgere - unter der annahme T sei injektiv - aus $\begin{eqnarray*} T(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3,4,5 \end{eqnarray*}$ , dass die 5 $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind.

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31.12.2007, 15:49

tigerbine

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Genau. Das ist der richtige Ansatz. Muss man für einen Beweis natürlich anders aufschreiben. (edit: danke an tmo für den Ansatz!)

Warum kann dann T eingeschränkt auf U injektiv sein?

31.12.2007, 16:04

schmida

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danke euch beiden,
nun eben die zweite Aussage ist mir nicht ganz klar.

Wieso ist nun T:U--->W möglicherweise injektiv. Dim U=2 und Dim W=4. Das bedeutet ja, dass ich Vektoren von einem 2dimensionalen Raum in einen 4dimensionalen Raum abbilde. Stimmt das soweit?

Nun wieso sollte nun die Injektivität gelten? Kann ich einfach so argumentieren, dass falls die Dimension des Zielraumes größer ist als die der Urmenge, kann die Injektivität zutreffen? Warum das so ist, ist mir leider nicht ganz klar.

vielleicht kann mir ja jemand ein Bsp nennen.
die Abbildmenge müsste ja eine Gerade in einem 4 dimensionalen Raum sein. Stimmt das? Aber leider hat das ja nichts mit der Injektivität zu tun.

danke
arnold

31.12.2007, 16:06

tigerbine

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Nun ja, der Zielraum W hat zwar die Dimension4, aber der Bildraum $\begin{eqnarray*} T(U) \subset W \end{eqnarray*}$ hat maximal die Dimension 2.

31.12.2007, 16:14

schmida

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aber die Argumentation,
falls der Bildraum>Ursprungsraum, dann kann die Injektivität gelten, ist diese so allgmein gültig?

und nun zu
b) T kann ja surjektiv sein, oder ? Nur eben T:U---->W kann nicht surjektiv sein, denn U ist ja nur 2dimensional und somit könne ja 2 dimensionen von W nicht abgebildet werden. Stimmt das so?

Ich weiss, dass ich mich mathematisch vielleicht ungeschickt ausdrücke, aber stimmen diese Überlegungen vom Ansatz her.

arnold

31.12.2007, 16:18

tmo

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Zitat:

Original von schmida
aber die Argumentation,
falls der Bildraum>Ursprungsraum, dann kann die Injektivität gelten, ist diese so allgmein gültig?

wenn du das größerzeichen so meinst, dass man damit die dimensionen vergleicht, dann ist das so gültig.
allerdings habe ich das gefühl du gehst hier nirgends auf die Vorraussetzung ein, dass T eine lineare abbildung ist. Das ist nämlich etwas ganz entscheidendes.

vielleicht solltest du einfach mal die beiden Beweise, die hinter der Behauptung A stecken, führen. dann verstehst du das vielleicht auch besser.

31.12.2007, 16:30

schmida

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vielen dank soweit.
Du hast soweit Recht, dass ich nie auf die lineare Abbildung eingegangen bin: dies bedeutet ja nur, dass die Addition von Vektoren in der Ursprungsmenge und danach die auf Funktion angewandt, gleich ist wie die Funktion auf die einzelnen Zielbilder angewandt und dann die Addition gemacht.
also T(v1+v2)= T(v1)+T(v2) und dann halt noch das gleiche mit einer Zahl multipliziert.

Soweit ist mir das mit der linearen Abbildung klar und hoffe das dies so richtig ist.

vielen dank euch beiden.
Vielleicht habt ihr ja noch ein wenig Zeit auch die Lösungen C und D einzugehen. vor allem auf D, wieso umkehrbar???

danke
arnold

31.12.2007, 16:43

tmo

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dass C falsch ist, ist mit A trivial. denn eine bijektive abbilding ist immer auch injektiv.

zu D) kann ich leider nichts sagen, da ich muss noch nicht mit dem Begriff des Kern auseinandergesetzt habe, weshalb die gefahr, dass ich dir irgendetwas falsches sage, zu groß wäre. da kann tigerbine dann ja wieder übernehmen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber nochmal zu B) ein tipp:
wähle mal $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^6 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} W = \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U = \{(x_1,x_2,0,0,0,0) \mid x_1,x_2 \in \mathbb R \} \subset V \end{eqnarray*}$ .

finde dann eine abbildung T, welche der behauptung in B widerspricht.

31.12.2007, 17:00

tigerbine

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Zitat:

D)If U=KerT then there exists a subspace $\begin{eqnarray*} U' \subset V \end{eqnarray*}$ such that T(U):U'---->W is invertible.

Kern(T) ist ein UVR von V mit T(Ker(T))= 0. Somit kann gelten Ker(T)=U. Was Soll nun

Zitat:

T(U): U'

bedeuten

verwirrt

Oder fehlt da ein Strich?

31.12.2007, 17:13

schmida

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RE: Übung zu linearer Abbildung - Injektivität
danke an euch,

ja es soll heißen:

If U=KerT then there exists a subspace such that T(U'):U'---->W is invertible.

Bedeutet dies nich dass U alle Vektoren beinhaltet, die in der Bildmenge auf Null abgebildet werden. Aber was hat das mit der Umkehrung zu tun?

danke, nochmals kurz zu B)
stimmt meine Behauptung, dass T schon surjektiv sein kann, denn dimV=6 und dimW=4, somit können in der Bildmenge alle Vektoren von der Ursprungsmenge dargestellt werden, aber daraus kann ich nicht auf für T:U--->W die Surjektivität folgen.
stimmt diese Überlegung.

vielen dank und wünsche euch einen schönen Jahresausklang aus Südtirol

arnold

01.01.2008, 13:38

tmo

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mach dir doch mal gedanken darüber was für eigenschaften ein solcher unterraum U' haben muss.

welche dimension muss er haben? hat er gemeinsame elemente mit U?

01.01.2008, 13:39

tigerbine

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@tmo: frohes Neues!

Wie meinst Du das mit den gemeinsamen Elementen? Solle U' nicht UVR von U sein?

01.01.2008, 13:45

tmo

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U' soll doch UVR von V sein. über das verhältnis von U und U' ist ja weiter nichts gesagt.

auch dir ein frohes Neues!

01.01.2008, 13:49

tigerbine

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Stimmt, leider hatte er das das $\begin{eqnarray*} U' \subset V \end{eqnarray*}$ unten (letzter post) nicht mehr mit übernommen.

02.01.2008, 15:43

schmida

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danke allen für eure Bereitschaft zu helfen,

könntet ihr mir sagen ob ich mit meiner Behauptung zu Antwort B richtig liege:
hier nochmals meine Argumentation zu Antwort B:

stimmt meine Behauptung, dass T schon surjektiv sein kann, denn dimV=6 und dimW=4, somit können in der Bildmenge alle Vektoren von der Ursprungsmenge dargestellt werden, aber daraus kann ich nicht auf für T:U--->W die Surjektivität folgen.
stimmt diese Überlegung

und könnte mir jemand bitte erklären wieso diese Aussage stimmt.
D)If U=KerT then there exists a subspace such that T(U):U'---->W is invertible

Wenn U=KerT, bedeutet das ja, dass alle Vektoren aus U auf den Nullvektor von W abgebildet werden, oder?? Warum dann umkehrbar?

danke
arnold

02.01.2008, 15:56

tigerbine

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Du musst schon genau lesen. Es hießt nicht dass

$\begin{eqnarray*} T_{|~U}:~Ker(T) \to 0 \end{eqnarray*}$

umkehrbar ist. Sondern dass für $\begin{eqnarray*} U' \subset V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{|~U'} \end{eqnarray*}$ umkehrbar ist. Wie muss man also U' wählen, damit die Behauptung für alle Möglichkeiten von U gilt?

02.01.2008, 16:27

schmida

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danke vorest,
nun blicke ich aber nicht durch:

U = Ker(T) wird auf den Nullvektor abgebildet.

$\begin{eqnarray*} U' \subset V \end{eqnarray*}$

nun wenn ich als U' den Nullvektor nehme, dann ist dieser ja immer invertierbar, denn bei jeder linearen Abbildung wir der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet. Aber das ist sicherlich nicht damit gemein, oder?

danke
arnold

03.01.2008, 16:22

schmida

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vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen, wieso diese Abbildung dann invertierbar ist.

Wenn
$\begin{eqnarray*} T_{|~U}:Ker(T) \to 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} U' \subset V \end{eqnarray*}$

dann bedeutet das doch:
1)da U' ein Subset von U ist sind diese dann auch auf die Nullvektoren von W abgebildet, stimmt das so?
2) zu diesem SubSet gehört klarerweise auch der Nullvektor!

hat die Umkehrbarkeit etwas mit der linearen Abhngigkeit der Vektoren aus Ker(T) zu tun?

danke
arnold

03.01.2008, 16:33

tmo

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du hast da etwas missverstanden.

die Vorraussetzung lautet:
$\begin{eqnarray*} Ker(T) = U \end{eqnarray*}$

die Behauptung lautet, dass ein $\begin{eqnarray*} U' \subset V \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} T_{|~U'} \end{eqnarray*}$ invertierbar (bijektiv) ist.

ich hab dir oben schon mal folgende fragen gestellt:

Zitat:

Original von tmo
mach dir doch mal gedanken darüber was für eigenschaften ein solcher unterraum U' haben muss.

welche dimension muss er haben? hat er gemeinsame elemente mit U?

Zitat:

Original von schmida

1)da U' ein Subset von U ist sind diese dann auch auf die Nullvektoren von W abgebildet, stimmt das so?

das ist übrigens falsch, denn dann wäre T(U') sicher nicht injektiv und damit nicht invertierbar.

03.01.2008, 18:21

schmida

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Danke tmo,

die Dimension vonU=2, dh ja dass der Kern der Abbildung die Dimension 2, somit hat der Kern 2 frei wählbare Variablen, stimmt das so?

Das Abbild hat die Dimension 4.
Weiters sollte ja gelten
Dim(Kern)+Dim(Bild)=Dimension Abbildung

aber mir fehlt da irgendwo der Zusammenhang zwischen U und U'

danke
arnold

03.01.2008, 20:43

schmida

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nun ich knobble weiter...

kann es sein, dass der Vektorraum U' die Dimension 2 haben muss damit er injektiv und somit umkehrbar ist, denn
Abbildung (4) - Kern(=2) = 2 , und diese Vektoren könnten dann injektiv sein !?

aber ob diese Überlegung stimmt weiss ich leider nicht.

arnold

03.01.2008, 20:45

tmo

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du betrachtest doch die abbildung $\begin{eqnarray*} T: U' \mapsto W \end{eqnarray*}$

W hat die dimension 4, also muss U' welche dimension haben, damit die abbildung überhaupt surjektiv sein kann?

benutze dazu auch die überlegungen die du bei B) angestellt hast.

03.01.2008, 20:56

schmida

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nun wenn Du so fragst, dann muss U' klarerweise die Dimension 4 haben, denn ansonsten könnten ja bestimmte Bildvektoren nicht abgebildet werden.

hmm, damit ist U' ja nicht unbedingt bijektiv? Und injektiv? Denn U ist ja sicher nicht injektiv, denn dafür müsste ja U=KerT=0 sein und das ist ja 2....

es wird immer alles noch komplizierter unglücklich

unglücklich

(

danke
arnold

03.01.2008, 21:05

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

dass U' die dimension 4 (oder größer) hat, ist eine notwendige bedingung.

eine andere notwendige bedingung ist, dass U' außer dem nullvektor kein gemeinsames element mit U hat (warum?)

nun gilt es zu zeigen, dass diese bedingungen zusammen nicht nur notwendig sondern auch hinreichend dafür sind, dass T die mengen U' und W bijektiv aufeinander abbildet.

PS: du wirfst wahllos mit begriffen um dich, das solltest du versuchen abzustellen.
denn warum sollte U (eine menge) injektiv sein? und warum ist U=KerT=2? und warum müsste es 0 sein? das macht alles keinen sinn unglücklich

unglücklich

03.01.2008, 21:28

schmida

Auf diesen Beitrag antworten »

danke tmo,

eine andere notwendige bedingung ist, dass U' außer dem nullvektor kein gemeinsames element mit U hat (warum?)

dies deshalb, weil U=Ker(T) ist und diese genau auf den Nullvektor abgebildet werden, laut Def vom Kern. Und damit die Abbildung auch injektiv ist, darf ja jede Abbildung in der Bildmenge nur von einem und genau einem abgebildet werden.

nun laut Definition gilt eine Abbildung als injektiv, wenn der Kern der Abbildung nur aus dem Nullvektor besteht und somit Dimension 0 hat! Ich hoffe das stimmt so!
danke
arnold

03.01.2008, 21:37

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist soweit richtig, wobei mir diese Definition von injektiv nicht bekannt ist. im zweifelsfall müsste man das halt auch noch beweisen.

jetzt musst du nur noch zeigen, dass T die Mengen U' und W bijektiv aufeinander abbildet, wenn U' die dimension 4 hat.

03.01.2008, 21:41

tigerbine

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Das sollte stimmen (Link - zu faul im Skript zu kramen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

04.01.2008, 14:41

schmida

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Nun, soweit ist mir nun einiges klarer geworden. Vielen Dank.

Aber eines verstehe ich trotzdem nicht:

$\begin{eqnarray*} Ker(T)=U \end{eqnarray*}$ ,

was hat das mit der Abbildung von $\begin{eqnarray*} U'\subset V \end{eqnarray*}$ zu tun:

$\begin{eqnarray*} T(U'):U' \mapsto W \end{eqnarray*}$

denn um so eine Abbildung bijektiv zu machen muss ja Dim(U') und Dim(W)=4 sein. Was hat das mit U zu tun??

kann aber auch sein, dass bei der Aufgabe etwas falsch formuliert wurde. Wo ist der Zusammenhang zwischen U und U', könnte U' auch M heißen?

danke
arnold

04.01.2008, 15:14

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja U' könnte auch M heißen, denn U' hat mit U wirklich nichts zu tun.

entscheidend ist hier nur, dass der Kern die Dimension 2 hat.

hätte der Kern z.b. die Dimension 3, so gäbe es kein solchen Unterraum, der bijektiv auf W abgebildet wird.

04.01.2008, 15:31

schmida

Auf diesen Beitrag antworten »

danke tmo für den Geduld,

und genau das stört mich. Die Dimension des Kerns muss ja 0 sein, damit die Abbildung injektiv und somit schlussendlich bijektiv ist!!;

Und das ist doch dann nicht mehr der Fall, oder was verstehe ich da nicht richtig.

arnold

04.01.2008, 15:36

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

die definitionsmenge der abbildung wird doch auf U' eingeschränkt.

und genau aus der Überlegung, dass die Dimension des Kerns 0 sein muss, folgt doch, dass U' aus dem Nullvektor kein gemeinsames Element mit U (dem Kern) haben darf.

Dass das nicht nur notwendig, sondern hinreichend ist, folgt so:

sei $\begin{eqnarray*} u,v \in U' \end{eqnarray*}$ (also auch $\begin{eqnarray*} u-v \in U' \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} T(u) = T(v) \Longleftrightarrow T(u)-T(v)=0 \end{eqnarray*}$ .
T ist eine lineare abbildung, also: $\begin{eqnarray*} T(u-v)=0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} u-v \in Ker(T) \end{eqnarray*}$ und nach Vorraussetzung sogar $\begin{eqnarray*} u-v \in Ker(T) \cap U' = \{0\} \end{eqnarray*}$

04.01.2008, 15:48

schmida

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ok, soweit klar,
dann finde ich es halt nicht gut vom Prof. dass er U=KerT schreibt und dann U', wobei dieses U' ja ein Subspace von V ist und überhaupt nichts mit U am Hut hat, außer dem Nullvektor und das hat ja jeder Vektorraum.

Somit scheint mir dieses if am Anfang verwirrend. Die Behauptung dass T(U'):U'---->W bijektiv ist, hat ja wirklich nichts mit der Aussage zu tun, dass U=KerT ist, denn U hat ja Dimension 2.

sehe ich nun alles richtig, oder habe ich was falsch verstanden,

danke, superforum

arnold

04.01.2008, 15:57

tmo

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Zitat:

Original von schmida

Somit scheint mir dieses if am Anfang verwirrend. Die Behauptung dass T(U'):U'---->W bijektiv ist, hat ja wirklich nichts mit der Aussage zu tun, dass U=KerT ist, denn U hat ja Dimension 2.

doch das hat was damit zu tun, denn wäre KerT = 3, dann würde ein solcher UVR U' nicht existieren. U' ist ja gar nicht definiert in der aufgabe, sondern du sollst ja zeigen, dass er existiert. Das If steht da schon richtig.
Klar könnte da auch stehen "If dim KerT=2", aber da du über U sowieso nichts weißt außer dim U = 2 ist das völlig belanglos.

04.01.2008, 16:13

schmida

Auf diesen Beitrag antworten »

danke Tmo,
aber wieso kann KerT nicht auch 3 sein? Nehmen wir an Dim(U)=3 und betrachten nur die letzte Aussage. Wieso kann es dann nicht einen Vektorraum U' Subspace von V geben (dim(V)=6), wobei dann gilt:
T(U'):U'--->W und beide Vektorräume haben die Dimension 4.

Scheinbar verstehe ich da wirklich etwas nicht.

arnold

04.01.2008, 16:23

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

dass U' die dimension 4 hat, reicht doch noch nicht für die bijektivität.

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