Übung zu linearer Abbildung - Injektivität - Seite 2

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schmida Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das alleine nicht,
aber wenn U' noch folgende Eigenschaften hat:
der Kern der Abbildung nur aus den Nullvektor besteht
und U' aus 4 linear unabhängigen Vektoren besteht, dann sollte dies doch reichen.

vielleicht kannst Du mir ja sagen wo mein Denkfehler liegt. Wieso KerT=2 kann bijektiv sein und KerT=3 nicht mehr?

danke
arnold
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wenn U' und der Kern kein gemeinsames Element (außer der Null) besitzen und zusammen die Dimension 7 haben, dann muss der Vektorraum dem sie unterliegen auch mindestens die Dimension 7 haben, denn wenn man eine Basis des Kern und eine Basis von U' nimmt, dann erhält man 7 lineare unabhängige vektoren.

Das kannst du dir auch anschaulich machen, wenn du 2 ebenen (unterraum der dimension 2) durch den ursprung im 3-dimensionalen raum betrachtest. die schneiden sich auf jeden fall in einer geraden oder sind sogar identisch.
schmida Auf diesen Beitrag antworten »

hallo tmo,
wieso dimension 7, Dimension 4

Zusammenfassend:
dim(V)=7
dim(U)=2
dim(W)=4
dim(U')=4

Wenn nun KerT=2 oder eben auch KerT=3, dann sollte doch trotzdem gelten:

, und daraus T(U'):U'---->W bijektiv?

das was du zuvor gesagt hast scheint mir klar, dehalb haben beide auch Dimension 4, da sie aus 4 unabhängigen Vektoren bestehen.

hmm, werde nochmals im Internet stöbern, irgendwie will mir das mit KerT=2 und KerT=3 nicht einleuchten.

danke trotzdem allen
arnold
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