Rekursionsformel für Integral

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31.12.2007, 15:48	Tarika	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursionsformel für Integral Hallo! Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: FInden sie die Rekurionsformel zur Berechnung des folgenden Integrals: I2n=\int_{b}^{a}~\frac{1}{(1+x^2)^n}~dx Ich hab leider keine Ahnung, wie ich an sowas rangehen soll, ich finde so gut wie nichts in der Literatur und wenig im Internet. In der Vorlesung haben wir das leider auch nicht gemacht. Kann mir das jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen soll?
31.12.2007, 16:00	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du sicher, dass die Integrationsgrenzen stimmen?
31.12.2007, 16:02	Tarika	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja,. bin ich. Einfach allgemeine Grenzen. Hier auch nochmal etwas schöner: $\begin{eqnarray} I2n=\int_{b}^{a}~\frac{1}{(1+x^2)^n}~dx \end{eqnarray}$
31.12.2007, 16:04	Tarika	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, verkehrt herum. Ich bin noch nicht so fit in Latex und hab versucht diesen Editor zu benutzen. Hier also dann nochmal richtig: $\begin{eqnarray} I_{2n} = \int_{a}^{b}~\frac{1}{(1+x^2)^n}~dx \end{eqnarray}$ EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
31.12.2007, 16:47	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dein Ziel ist es, daß du I_2n ausdrückst durch irgendwas, wo nur noch fertig ausgerechnete Integrals und Sachen wie I_(2(n-1)) drinstehen. Fangen wir mal mit dem ersten Tipp an, mal sehen, wie weit du damit kommst: Schreibe den Nenner als 1+x²-x². Das ist der einzige Trick, der Rest ist Handwerk. Nimm das Integral auseinander, der eine Teil führt sofort auf einen Ausdruck der Form I_(2(n-1)), den anderen kannst du mit partieller Integration verarzten.
02.01.2008, 10:41	Tarika	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hat auf jeden Fall geholfen! Ich habe nun den Ausdruck: I_(2(n-1))-\int_{a}^{b}~\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx . Sinnvollerweise sollte ich das rechte Integral ja auflösen, aber irgendwie komme ich nicht auf was sinnvolles durch partielle Integration.
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02.01.2008, 16:48	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann probier mal, als einen Faktor "x" zu nehmen, und zwar als den Faktor, den du integrieren willst.
02.01.2008, 20:46	Tarika	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, damit ging es besser Ich hab jetzt raus: $\begin{eqnarray} I_(2n)=0,5I_(2(n-1))- \frac{n}{4}ln(x^2+1) \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit?
03.01.2008, 09:57	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm. Habe da meine Bedenken. Kannst du mal deine Rechnung posten?
03.01.2008, 20:48	Tarika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, irgendwie hab ich mich da wohl wirklich vertan... aber mit dem ausgebesserten Fehler komme ich nicht wirklich weiter um das Integral auf der rechten Seite zu lösen... oder ich habe da wieder was übersehen, aber eigentlich sollte das dann so richtig sein. Hier die Rechnung: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~\frac{x^2}{(x^2+1)^n} ~dx = \int_{a}^{b}~x\frac{x}{(x^2+1)^n}~dx \end{eqnarray}$ Hier nehme ich x=v' und den Bruch als u. Dann bekomme ich: $\begin{eqnarray} = 0,5x^2 \frac{x}{(x^2+1)^n}+ \int_{a}^{b}~0,5x^2\frac{(x^2+1)^n-xn(x^2+1)^{n-1}2x}{(x^2+1)^{2n}} ~dx \end{eqnarray*}$ Naja, das Integral kann ich natürlich kürzen und zerlegen, aber danach bin ich nicht viel schlauer. Es wird eigentlich eher schlimmer. Oder hab ich in der Rechnung doch einen Fehler? EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
03.01.2008, 22:23	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry mein Tipp war etwas falsch. Die Aufspaltung stimmt, aber nimm x=u und $\begin{eqnarray} v'=\frac{x}{(x^2+1)^n}=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot (x^2+1)^ {-n} \end{eqnarray}$ . Davon kannst du die Stammfunktion "erraten", bzw. mit einer Substitution lösen, daß 2x sieht ja schon nach sowas wie einer inneren Ableitung eines Termes (x^2+1)^k aus.
04.01.2008, 12:36	Tarika	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal danke fürs korrigieren mit latex... ist noch im werden bei mir. Ich hab es nochmal versucht, diesmal umgekehrt und komme nun auf: $\begin{eqnarray} I_{2(n-1)}-\frac{1}{2(n-1)}I_{2(n-1)}+ \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} \end{eqnarray}$ Kann dan in etwa hinkommen?
04.01.2008, 12:41	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich auch raus. Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet. Du kannst die ersten beiden Summanden noch zusammenfassen.
04.01.2008, 12:49	Tarika	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse, danke Ja, klar, das mach ich noch. Daran sollte es dann nicht mehr scheitern. Wenigstens hab ich jetzt auch verstanden wie man überhaupt solche Aufgaben lösen soll... Toller Prof, wirklich...

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