Bernsteinpolynome

02.05.2005, 16:15

kospe

Bernsteinpolynome

Hi, ich soll folgende Gleicheit zeigen:

$\begin{eqnarray*} n(n-1)x^2=\sum_{k=0}^n k(k-1)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Hab es schon für kleine n ausprobiert oder mir die Summenglieder einzeln aufgeschrieben aber ich seh einfach nich, wie man das zeigen kann.
Hat jemand einen Tip für mich?

02.05.2005, 17:07

henrik

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hast schon vollständige induktion probiert?

02.05.2005, 17:10

kospe

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nee, hab ich noch nich... ok, probier ich mal Induktion über n. Mal sehen...

02.05.2005, 17:19

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Für $\begin{eqnarray*} 2\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ ist folgende Umformung richtig:

$\begin{eqnarray*} k(k-1)\binom{n}{k}=k(k-1)\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}=n(n-1)\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2} \end{eqnarray*}$

02.05.2005, 17:20

henrik

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Hierzu sollte dir

http://de.wikipedia.org/math/3dcb6bf59c01f7f89bcc80a7feb808cd.png

helfen

und allgemein vollst. induktion bei summen bis n ist, dass deine vermutung ja bis n geht und deine summe bis n+1.. daher das letzte summenglied rausholen und die summe durch die vorraussetzung ersetzen. in deinem fall is aber noch zu beachten das ein n in der summe selbst drin steht.. daher durch die rekursive form dort oben ersetzen und du erhälst 2 summen also 2 mal vorraussetzung anwenden.. dann wirst es schon hinbekommen

02.05.2005, 17:24

therisen

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Verschoben

02.05.2005, 17:46

kospe

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Vielen Dank erstmal für eure Antworten...

@henrik, Was genau meinst du mit "die rekursive Form dort oben"?

meinst du das?

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} \end{eqnarray*}$

02.05.2005, 18:32

henrik

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jop

03.05.2005, 14:10

yeti777

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Hallo kospe,

Zitat:

Original von kospe
Hi, ich soll folgende Gleicheit zeigen:

$\begin{eqnarray*} n(n-1)x^2=\sum_{k=0}^n k(k-1)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Du brauchst die vollständige Induktion nicht. Der Schlüssel liegt in der von Arthur angegebenen Umformung:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Für $\begin{eqnarray*} 2\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ ist folgende Umformung richtig:

$\begin{eqnarray*} k(k-1)\binom{n}{k}=k(k-1)\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}=n(n-1)\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2} \end{eqnarray*}$

Beachte, dass in deiner Originalformel auf der rechten Seite die Summanden für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ verschwinden. Also gilt:
$\begin{eqnarray*} n(n-1)x^2=\sum_{k=0}^n k(k-1)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n k(k-1)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Mit der Umformung von Arthur folgt:
$\begin{eqnarray*} n(n-1)x^2= n(n- 1)\sum_{k=2}^n \binom{n-2}{k-2}x^{k- 2+ 2}(1-x)^{(n- 2)- (k- 2)}= n(n- 1)x^2\sum_{k=2}^n \binom{n-2}{k-2}x^{k- 2}(1-x)^{(n- 2)- (k- 2)} \end{eqnarray*}$

Umindizieren $\begin{eqnarray*} k'=k-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n'=n-2 \end{eqnarray*}$ ergibt:
$\begin{eqnarray*} n(n-1)x^2= n(n- 1)x^2\sum_{k'=0}^{n'}~\binom{n'}{k'}x^{k'}(1-x)^{{n'}- {k'}}= n(n- 1)x^2\cdot (x+ 1- x)^{n'}= n(n- 1)x^2 \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Gruss yeti

03.05.2005, 14:23

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@yeti777

Auwei, das wird henrik bestimmt nicht gefallen. Big Laugh

Aber schön, dass wenigstens einer erkannt hat, was ich mit obiger Umformung beabsichtigt hatte.

03.05.2005, 18:31

henrik

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Wieso ? gibt doch viele wege nach rom..
der andere weg wäre auch nich schwerer und man könnte sich wieder drüber streiten wieviel vorwissen benutzt werden darf wie der bino satz Augenzwinkern

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Bernsteinpolynome

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