Difflgeichung: Eindeutigkeit und Existenz

02.05.2005, 19:16

pheips

Difflgeichung: Eindeutigkeit und Existenz

Servus! Hätte eine kleine Frage zu einem Anfangswertproblem zu einer Diffgleichung:

$\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{x^{2}+4*y^{2}} \end{eqnarray*}$

AWP: y(0) = 0

Gefragt ist ob eine Lösung zum Startwert existiert bzw. ob diese eindeutig wäre.

Meine Begründung:

Existenz:
weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4*y^{2}} \end{eqnarray*}$ stetig und überall definiert ist, existiert eine Lösung

Eindeutigkeit:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}\frac{4*y}{\sqrt{x^{2}+4*y^{2}} } \end{eqnarray*}$
weil diese aber nicht im Punkt (0,0) defniert ist, ist die Lösung nicht eindeutig.

Reichen diese beiden Punkte, oder muss noch etwas beachtet werden für die Existenz und die Eindeutigkeit?

02.05.2005, 21:32

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RE: Difflgeichung: Eindeutigkeit und Existenz

Zitat:

Original von pheips
Gefragt ist ob eine Lösung zum Startwert existiert bzw. ob diese eindeutig wäre.

Was heißt "existiert" ? Nur in einer Umgebung von x=0, oder auf ganz IR ?

Für letzteres kannst du vielleicht den Satz von Picard-Lindelöf heranziehen! Das hier

Zitat:

Original von pheips
Existenz:
weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4*y^{2}} \end{eqnarray*}$ stetig und überall definiert ist, existiert eine Lösung

reicht jedenfalls nicht für die Existenz einer Lösung auf ganz IR !!!

02.05.2005, 21:59

pheips

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RE: Difflgeichung: Eindeutigkeit und Existenz

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von pheips
Gefragt ist ob eine Lösung zum Startwert existiert bzw. ob diese eindeutig wäre.

Was heißt "existiert" ? Nur in einer Umgebung von x=0, oder auf ganz IR ?

Für letzteres kannst du vielleicht den Satz von Picard-Lindelöf heranziehen! Das hier

Zitat:

Original von pheips
Existenz:
weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4*y^{2}} \end{eqnarray*}$ stetig und überall definiert ist, existiert eine Lösung

reicht jedenfalls nicht für die Existenz einer Lösung auf ganz IR !!!

Hmm, bin nicht sicher, ob ich dich ganz richtig verstanden hab. Es ist eine Lösung zum Anfangswertproblem y(0) = 0 gesucht. Müsste dann nicht die Stetigkeit von F in einem Rechteck a<x<b, c<y<d, welches den Anfangspunkt
(0,0) enthält für die Existenz einer Lösung zum AWP y(0)=0 ausreichen?

02.05.2005, 22:16

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Nein, das reicht nicht - nimm als Beispiel

$\begin{eqnarray*} y'=y^2,\; y(0)=1 \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,2]

Wie unschwer zu erkennen ist, lautet die Lösung

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ , und die ist aber nur für x<1 definiert!!!

02.05.2005, 23:07

pheips

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein, das reicht nicht - nimm als Beispiel

$\begin{eqnarray*} y'=y^2,\; y(0)=1 \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,2]

Wie unschwer zu erkennen ist, lautet die Lösung

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ , und die ist aber nur für x<1 definiert!!!

Hoppla, wollte y' anstatt F schreiben! Es soll ja ohne, dass die Lösung bekannt ist, festgestellt werden ob eine existiert. Sorry, mein Fehler!

Die von dir genannte Lösung ist aber auch nur eine spezielle Lösung. Die allgemeine Lösung wäre:

y=-1/(x+C)

Aus dieser allgemeinen Lösung sieht man auch, dass es für jedes Anfangswertproblem eine Lösung gäbe.

Abgesehen davon ist auch dein y(x) für x>1 definiert. Augenzwinkern

02.05.2005, 23:13

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Zitat:

Original von pheips
Die von dir genannte Lösung ist aber auch nur eine spezielle Lösung. Die allgemeine Lösung wäre:

y=-1/(x+C)

Es ist die Lösung des Anfangswertproblems $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ . Und nur, weil der Ausdruck auch für x>1 erklärt ist, ist es noch lange keine Lösung für x>1, über diesen Pol bei x=1 hinaus geht das so nicht!

Und übrigens: Außer für den Anfangswert y(0)=0 gibt es keine Lösung dieser Dgl, die auf ganz IR definiert ist.

Also schau dir den Picard-Lindelöf nochmal an - so einfach bringst du mein Beispiel nicht zu Fall. unglücklich

02.05.2005, 23:33

pheips

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von pheips
Die von dir genannte Lösung ist aber auch nur eine spezielle Lösung. Die allgemeine Lösung wäre:

y=-1/(x+C)

Ok, langsam Augenzwinkern

I glaub i weiß jetzt was du meinst. Ich will einfach nur die Existenz einer speziellen Lösung der Differentialgleichung nachweisen, wobei diese Lösung nur die Eigenschaft haben muss, dass nach einsetzen von y=0 und x=0 (in meinem ersten Beispiel) "alles zusammenpasst".
Sprich das AWP besteht nur aus einer Vorgabe (y(0)=0). Sonst keine Einschränkungen. Also die restliche y-Werte sollen sich eben nur durch einsetzen von beliebigen x in die Lösung ergeben.

Ich glaub wir haben insofern aneinander vorbeigeredet. Der Begriff "Lösungen die auf ganz IR definiert sind" ist mir fremd. Aber es geht wohl nicht nur darum, dass die Funktion y(x) überall definiert ist, sondern in Abhängigkeit von einem AWP ist. Meinst du damit, dass y=0 für alle x. Oder was versteht man "Lösung, die auf ganz IR definiert"ist?

03.05.2005, 08:30

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Wie soll ich dir das nur begreiflich machen? Ich komme nochmal auf die einfache Dgl $\begin{eqnarray*} y'=y^2 \end{eqnarray*}$ zurück:

$\begin{eqnarray*} y(x)=-\frac{1}{x+C},\,x<-C \end{eqnarray*}$ ist Lösung, $\begin{eqnarray*} y(x)=-\frac{1}{x+C},\,x>-C \end{eqnarray*}$ ist auch Lösung, aber $\begin{eqnarray*} y(x)=-\frac{1}{x+C},\,x\neq -C \end{eqnarray*}$ ist keine Lösung dieser Dgl!!!

Für das spezielle AWP $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist C=-1, und an der Stelle x=1 hat die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ einen Pol erster Ordnung, genauer gesagt
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\nearrow 1}\frac{1}{1-x}=+\infty,\qquad \lim\limits_{x\searrow 1}\frac{1}{1-x}=-\infty \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt erklär mir mal, wie du vom Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ (positiv) und $\begin{eqnarray*} y'=y^2 \end{eqnarray*}$ (auch immer nichtnegativ) dann für x>1 plötzlich zu negativen Funktionswerten kommen willst!!!

Die Dgl kann man ja wegen $\begin{eqnarray*} y'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}=\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ als Grenzprozess einer Iteration $\begin{eqnarray*} y(x+\Delta x)=y(x)+y'(x)\cdot\Delta x=y(x)+[y(x)]^2\cdot\Delta x \end{eqnarray*}$ auffassen - wie willst du hier über x=1 "drüberrutschen", so dass die Funktionswerte plötzlich negativ werden? Erklär mir das bitte mal, ich bin sehr neugierig!

Tatsächlich ist es so, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1}{1-x},\, x<1 \end{eqnarray*}$ , die nachweislich die einzige Lösung des AWP $\begin{eqnarray*} y'=y^2,\,y(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist, für $\begin{eqnarray*} x\nearrow 1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ abdriftet. Wenn man so will, verharrt sie wegen $\begin{eqnarray*} y'=y^2 \end{eqnarray*}$ auch für nachfolgende x dann bei $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , aber diese letzte Formulierung mit dem "Verharren" ist schon keine seröse Mathematik mehr. Seriös ist die logische Feststellung, dass dieses AWP für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ ganz einfach keine Lösung haben kann!

03.05.2005, 09:03

pheips

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Wie gesagt, ich glaub wir reden aneinander vorbei. Für mein Beispiel ist keine Lösung gefragt, welche für alle x als "Lösung definiert" ist, sondern nur eine Fkt. y(x), für die gilt $\begin{eqnarray*} y(x)'= \sqrt{x^{2}+4*y^{2}} \end{eqnarray*}$ und für die gilt y(0)=0 bzw. nur ob so eine Lösung existiert.

Und bez. deines Beispiels hat mich verwirrt, dass du gesagt hast, dass die von dir genannte spez. Lösung nicht definiert ist für x>=1. Hab nicht gewusst, was du in diesem Zusammenhang mit "definiert" meinst. Es ist keine Lösung der Diffgleichung für x=>1, ja, aber die Funktion ist y(x) ist auch für x>1 definiert im herkömmllichen Sinne.

03.05.2005, 09:11

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Zitat:

Original von pheips
Es ist keine Lösung der Diffgleichung für x=>1, ja, aber die Funktion ist y(x) ist auch für x>1 definiert im herkömmllichen Sinne.

Richtig, aber dieses y(x) für x>1 hat nichts, aber auch gar nichts mit dem AWP zu tun.

Im übrigen hätten wir uns die ganze Diskussion ersparen können, wenn du gleich meine Frage

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von pheips
Gefragt ist ob eine Lösung zum Startwert existiert bzw. ob diese eindeutig wäre.

Was heißt "existiert" ? Nur in einer Umgebung von x=0, oder auf ganz IR ?

beantwortet hättest.

Trotzdem - wenn du dich wie bisher hartnäckig Kriterien wie Picard-Lindelöf verweigerst, kannst du für deine Dgl nur die Aussage treffen, dass eine Lösung in einer Epsilon-Umgebung von x=0 existiert, nicht mehr. Allein die Stetigkeit deines F gibt wirklich nicht mehr her, wie mein Beispiel oben deutlich zeigt.

03.05.2005, 09:20

pheips

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Wie gesagt mir ging es von Anfang her um etwas anderes. Und wie vorher geschrieben, war mir nicht klar was du mit "eine Lösung existiert auf ganz IR" gemeint hattest. Deshalb hab ich auch den Zusammenhang zwischen deinem und meinem Beispiel nicht gesehen.

Naja, danke jedenfalls!

03.05.2005, 09:23

JochenX

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auch wenn er deinen vorschlag mit dem satz von picard-lindelöf bislang wortlos ignroiert, arthur, hier für alle interesseirten mal ein passender link:
satz von picard-lindelöf
habe ich in meinen ana3-lernzeiten oft genug gebraucht!

mfg jochen

03.05.2005, 09:53

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Richtig LOED, und dabei ist die Picard-Lindelöf-Rechnung hier gar nicht so schwer: Es gilt die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \left|F(x,y_1)-F(x,y_2)\right| = \left|\sqrt{x^2+4y_1^2}-\sqrt{x^2+4y_2^2}\right|=\frac{4\left|y_1^2-y_2^2\right|}{\sqrt{x^2+4y_1^2}+\sqrt{x^2+4y_2^2}}\leq \frac{4\left|y_1^2-y_2^2\right|}{2(\left|y_1\right|+\left|y_2\right|)} = 2\left|\left|y_1\right|-\left|y_2\right|\right| \leq 2\left|y_1-y_2\right| \end{eqnarray*}$ .

Aber wenn phelps der festen Meinung ist, ohne sowas o.ä. auszukommen, kann ich auch nichts machen. Ich habe mein Pulver verschossen. Wink

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