Punkte mit bestimmtem Abstand finden

02.05.2005, 19:36

aRo

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Punkte mit bestimmtem Abstand finden

Hallo!

Ich soll die Menge aller Ps finden, die von E1 7LE und von E2 11LE entfernt sind.
Diese Punkte liegen auf 4 Geraden. Ich soll min 2 Parametergleichungen dieser Geraden bestimmen.

$\begin{eqnarray*} E_1 : 4x_2-3x_3 = 15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2 : 6x_1-2x_2+3x_3 = 5 \end{eqnarray*}$

ich habe mir jetzt gedacht, dass folgende Gleichungen erfüllt sein müssen:
P(x|y|z):

$\begin{eqnarray*} |4y-3z-15| = 35 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |6x-2y+3z-5| = 77 \end{eqnarray*}$

so, jetzt könnte ich ja normalerweise dieses Gleichungssystem lösen.
Doch die Betragsstriche irritieren mich, wie muss ich mit denen umgehen?

Oder bin ich sowieso schon falsch?

Grüße,
aRo

02.05.2005, 20:25

brunsi

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RE: Punkte mit bestimmtem Abstand finden
sollen die Ps sowohl die bedingung von E1 erfüllen als auch die von E2 oder sind das zwei verschiedene paar schuhe??

02.05.2005, 20:31

aRo

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beides.

02.05.2005, 20:33

JochenX

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hmmm, allgemeiner ansatz:

stelle jeweils 2 parallelebenen mit entsprechendem abstand auf.
diese seien E1', E1'', E2', E2''

schneide dann
E1' mit E2'
E1'' mit E2'
E1'' mit E2''
E1' mit E2''

4 geraden

02.05.2005, 20:33

riwe

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das paßt schon
e1//E1: 4y -3z - 15 = 35
e2//E1: 4y - 3z -15 = - 35
gibt 4 schnittgerade
werner

02.05.2005, 20:37

aRo

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wie darf ich deinen Beitrag jetzt verstehen wernerrin?

meinst du, dass ich jetzt 4 Gleichungen aufstellen kann und es so lösen könnte?

jo, LOED, das ginge wohl!
das könnte ich ja probieren.

Aber wenn mein Ansatz auch geht, würde ich lieber den weiter machen.

Gruß,
aRo

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02.05.2005, 20:40

JochenX

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tschulligung, ich kenne keine formeln, ich bastel mir die lösungsansätze immer selbst.
ist auch gar nicht soooo langwierig würde ich denken, die ebenen aufzustellen geht ja fast schnell!

na hoffentlich funktioniert deine noch effizientere methode!

mfg jochen

02.05.2005, 20:42

riwe

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dasselbe machst mit E2 und dann schneidest du e11xe21 , e11xe22 und e12x e21, e12 x e22 gibt eben 4 gerade
werner
das ist eh das was dir jochen vorgeschlagen hat: du hast hier die 2 parallelen ebenen zu E1 bzw. E2
4y - 3z + 20 = 0
4y - 3z - 50 = 0
usw.

02.05.2005, 21:07

aRo

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also ich war jetzt so frech und habe einfach mal so weiter gemacht.

ich habe
$\begin{eqnarray*} 4y-3z -15 = 35 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x-2y+3z-5=77 \end{eqnarray*}$

das habe ich in Abhängigkeit von z aufgelöst.

Dann bekomme ich eine Gerade, die alle Bedingungen erfüllt!
Nämlich:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 107/6 \\ 12.5\\ 0 \end{pmatrix} + z*\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich das ganze mit den Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} 4y-3z -15 = -35 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x-2y+3z-5=-77 \end{eqnarray*}$
mache, bekomme ich eine falsche Gerade!! Warum? Verrechne ich mich da nur immer, oder wieso geht das da nicht?!

Gruß,
aRo

02.05.2005, 22:03

AD

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Alternative (zumindest zum Richtungsvektor der Geraden):

Die gesuchten Geraden verlaufen parallel zu beiden Ausgangsebenen, somit ist ihr Richtungsvektor senkrecht zu beiden Normalenvektoren der Ebenen, und somit kollinear zu deren Kreuzprodukt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\ 4\\ -3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6\\ -2\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\ -18\\ -24\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}1\\ -3\\ -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EDIT: Vorzeichenfehler korrigiert. Danke, Werner!

02.05.2005, 22:38

riwe

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@hallo artur, ist es möglich, dass auch du einen VZ-fehler hast?
sollte es nicht heißen
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3\\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da alle geraden diesen richtungsvektor haben, die 4 aufpunkte:
P1(65/3; 1, -46/3), P2(-26/3; 0; - 20/3), P3(10; 1; 8) und P4( -46/3; 0; 20/3)

werner

02.05.2005, 23:03

AD

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Hammer

Vollkommen richtig!

03.05.2005, 13:58

brunsi

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antwort
stellt ihr zu E1 2 parallebenen auf und dann noch mal 2 zu E2??

dürft ihr das denn überhaupt so machen? wie wollt ihr denn die überhaupt berechnen?

E: x+y+z=c

wie bekommt ihr jeweils das c für eure parallelebenen raus?

03.05.2005, 14:07

JochenX

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Zitat:

wie wollt ihr denn die überhaupt berechnen?

ohne groß nachzudenken, ob das nicht viel leichter geht

normalenvektor aufstellen, auf die länge 11 "entnormieren", an einen punkt der ebene ansetzen (einmal mit +, einmal mit -1*), zeigt dann jeweils auf einen punkt der neuen parallelebene.

c bestimmen

mfg jochen

Zitat:

dürft ihr das denn überhaupt so machen

wir dürfen alles!

Wink

Wink

03.05.2005, 15:41

riwe

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
stellt ihr zu E1 2 parallebenen auf und dann noch mal 2 zu E2??

dürft ihr das denn überhaupt so machen? wie wollt ihr denn die überhaupt berechnen?

E: x+y+z=c

wie bekommt ihr jeweils das c für eure parallelebenen raus?

das hat aro eh perfekt vorgeführt, kommt ja immer auf dasselbe raus, egal wie man es nun nennt

bei deinem beispiel, wenn die ebene F von E den abstand d haben soll
$\begin{eqnarray*} x+y+z -c=\mid d \mid \sqrt{1+1+1} =\pm d\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
werner

03.05.2005, 16:34

aRo

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ich habe jetzt alle 4 geraden auch rausbekommen, danke!

:-)

Habe es dann einfach mit meinen Formeln alles gemacht. Hatte nur einmal x und y vertauscht, deswegen klappte es nicht.

Gruß,
aRo

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