geometrisches Mittel

02.05.2005, 19:39

Billi

geometrisches Mittel

Bestimmen sie alle Paare rationaler Zahlen (a,b), deren geometrisches und arithmetisches Mittel übereinstimmen.

Bestimmen sie alle Paare rationaler Zahlen (a,b), deren geometrisches und harmonisches Mittel übereinstimmen.

Wie macht man denn das bitte? verwirrt

02.05.2005, 19:54

therisen

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Ich denke mal, du sollst die Gleichungen
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b}=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \end{eqnarray*}$

lösen.

Gruß, therisen

02.05.2005, 20:11

Billi

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gut, aber wie?

02.05.2005, 20:23

Sciencefreak

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Die Frage ist auch, wie weit du das vereinfachen darfst, eigentlich sollte man in der Schule folgenden Zusammenhang lernen
Das harmonische Mittel(HM) ist kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel(GM) ist kleiner gleich dem arithmetischen Mittel(AM). Und die Gleichheit gilt dann, wenn alle Werte von denen das HM, GM und AM gebildet wurde gleich sind. Damit kannst du deine Sache ganz leich beantworten. Ansonsten musst du die Aussagen von therisen erst umfomen, müsstest aber auf das gleiche Ergebnis kommen

02.05.2005, 20:31

brunsi

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antwort
ehrlich gesagt, hab eich auch keine ahnung was ihr jetzt genau damit meint. könntet ihr nicht mal ein beispiel lösen und das hier posten, damit man die rechenoperationen nachvollziehen kann?

mfg dennis

02.05.2005, 20:36

therisen

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Hier nochmal, was sciencefreak schon schön gesagt hat:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{a\cdot b}\leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$
Gleichheit für a=b.

Was gibt es da nun nicht zu verstehen? Meinst du den Beweis für diese Ungleichungen?

Gruß, therisen

02.05.2005, 20:55

Sciencefreak

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Für den 2.Teil also mit geometrischen und arithmetischen Mittel gibt es einen schönen geometrischen Beweis

02.05.2005, 20:59

therisen

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Ich bin gerade auf einen kleinen "Schatz" zu diesem Thema gestoßen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung...trischen_Mittel

Oder hier ganz einfach für 2 Zahlen: http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_...e_where_n_.3D_2

Gruß, therisen

02.05.2005, 21:06

Sciencefreak

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Ich kenne den Beweis mit der Jensenschen Ungleichung. Der Beweis für 2 Zahlen ist ein anderer. Der geht über eine den Thaleskreis.
Zuerst nimmt man a+b und diesen Wert nimmt man als Durchmesser für einen Kreis, somit ist der Radius (a+b)/2=AM
Nun weiß man desweiteren, dass $\begin{eqnarray*} h^2=a*b \end{eqnarray*}$ denn das Dreieck über dem Durchmesser ist ein rechtwinkliges. Dieses h ist nun unser GM und diese Höhe ist immer kleiner oder gleich dem Radius des Kreises, also gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{a*b}\leq\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

03.05.2005, 03:03

Mathespezialschüler

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Verschoben

03.05.2005, 15:30

Billi

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b}=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \end{eqnarray*}$

Wie löst man denn diese Gleichung?

03.05.2005, 15:36

therisen

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Wofür brauchst du das denn, Uni oder Schule? Was darfst du als bekannt voraussetzen? Ich habe dir doch schon sehr viele verschiedene Lösungsmöglichkeiten bei Wikipedia gezeigt, hilft das alles nichts???

Gruß, therisen

03.05.2005, 15:49

Billi

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Dat ist für die Uni!
Die Ungleichung könn wir vorraussetzten, die ham wir schon bewiesen!

03.05.2005, 15:56

therisen

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Zitat:

Original von therisen
Hier nochmal, was sciencefreak schon schön gesagt hat:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{a\cdot b}\leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$
Gleichheit für a=b.

Da steht doch schon die Lösung!

Gruß, therisen

03.05.2005, 18:01

Billi

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und wie zeigt man, dat es nur für a=b gilt?

03.05.2005, 18:13

Sciencefreak

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Daann kannst du doch nicht die Ungleichungen nehmen sondern musst einfach deine Gleichung nach a ider b umstellen. Da sollte dann a=b rauskommen

03.05.2005, 18:15

etzwane

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Zitat:

und wie zeigt man, dat es nur für a=b gilt?

Vielleicht so?
$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2}=\sqrt{a\cdot b} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} a+b=2\sqrt{a\cdot b} \end{eqnarray*}$ , jetzt quadrieren, ergibt
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=4ab \end{eqnarray*}$ , dann binom. Lehrsatz anwenden
$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2=4ab \end{eqnarray*}$ , jetzt 4ab subtrahieren ergibt
$\begin{eqnarray*} a^2-2ab+b^2=0 \end{eqnarray*}$ , dann binom. Lehrsatz anwenden ergibt
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=0 \end{eqnarray*}$ , dann daraus die Wurzel ziehen
$\begin{eqnarray*} a-b=0 \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$

Du kannst ja analog die Rechnung für das harmonische Mittel machen.

03.05.2005, 18:16

Billi

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Cool, haste vielleicht noch nen Ansatz für die Gleichung mit dem harmonischen Mittel für mich?

03.05.2005, 20:44

therisen

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Was studierst du denn bitte, wenn dir der Schulstoff aus der 9. Klasse bereits Schwierigkeiten bereitet? Vom Prinzip her gehst du genauso vor, wie etzwane bei der 1. Gleichung. Zeig mal deine Ansätze dazu, damit nicht der Eindruck entsteht, dass du dir hier alles schön bequem vorrechnen lassen willst.

Gruß, therisen

03.05.2005, 21:06

etzwane

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Zitat:

Original von Billi
Cool, haste vielleicht noch nen Ansatz für die Gleichung mit dem harmonischen Mittel für mich?

Ansatz ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\sqrt{a\cdot b} \end{eqnarray*}$

aber rechnen musst du schon selbst.
Dazu solltest du erstmals den Bruch im Nenner auf den Hauptnenner bringen und zusammenfassen, und dann weiterrechnen wie bei der anderen Aufgabe.

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