geometrisches Mittel

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Billi Auf diesen Beitrag antworten »
geometrisches Mittel
Bestimmen sie alle Paare rationaler Zahlen (a,b), deren geometrisches und arithmetisches Mittel übereinstimmen.

Bestimmen sie alle Paare rationaler Zahlen (a,b), deren geometrisches und harmonisches Mittel übereinstimmen.

Wie macht man denn das bitte? verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal, du sollst die Gleichungen


und



lösen.

Gruß, therisen
 
 
Billi Auf diesen Beitrag antworten »

gut, aber wie?
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist auch, wie weit du das vereinfachen darfst, eigentlich sollte man in der Schule folgenden Zusammenhang lernen
Das harmonische Mittel(HM) ist kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel(GM) ist kleiner gleich dem arithmetischen Mittel(AM). Und die Gleichheit gilt dann, wenn alle Werte von denen das HM, GM und AM gebildet wurde gleich sind. Damit kannst du deine Sache ganz leich beantworten. Ansonsten musst du die Aussagen von therisen erst umfomen, müsstest aber auf das gleiche Ergebnis kommen
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
ehrlich gesagt, hab eich auch keine ahnung was ihr jetzt genau damit meint. könntet ihr nicht mal ein beispiel lösen und das hier posten, damit man die rechenoperationen nachvollziehen kann?



mfg dennis
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal, was sciencefreak schon schön gesagt hat:

Gleichheit für a=b.

Was gibt es da nun nicht zu verstehen? Meinst du den Beweis für diese Ungleichungen?


Gruß, therisen
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Für den 2.Teil also mit geometrischen und arithmetischen Mittel gibt es einen schönen geometrischen Beweis
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin gerade auf einen kleinen "Schatz" zu diesem Thema gestoßen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung...trischen_Mittel

Oder hier ganz einfach für 2 Zahlen: http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_...e_where_n_.3D_2

Gruß, therisen
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne den Beweis mit der Jensenschen Ungleichung. Der Beweis für 2 Zahlen ist ein anderer. Der geht über eine den Thaleskreis.
Zuerst nimmt man a+b und diesen Wert nimmt man als Durchmesser für einen Kreis, somit ist der Radius (a+b)/2=AM
Nun weiß man desweiteren, dass denn das Dreieck über dem Durchmesser ist ein rechtwinkliges. Dieses h ist nun unser GM und diese Höhe ist immer kleiner oder gleich dem Radius des Kreises, also gilt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
Billi Auf diesen Beitrag antworten »



und



Wie löst man denn diese Gleichung?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Wofür brauchst du das denn, Uni oder Schule? Was darfst du als bekannt voraussetzen? Ich habe dir doch schon sehr viele verschiedene Lösungsmöglichkeiten bei Wikipedia gezeigt, hilft das alles nichts???

Gruß, therisen
Billi Auf diesen Beitrag antworten »

Dat ist für die Uni!
Die Ungleichung könn wir vorraussetzten, die ham wir schon bewiesen!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Hier nochmal, was sciencefreak schon schön gesagt hat:

Gleichheit für a=b.


Da steht doch schon die Lösung!

Gruß, therisen
Billi Auf diesen Beitrag antworten »

und wie zeigt man, dat es nur für a=b gilt?
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Daann kannst du doch nicht die Ungleichungen nehmen sondern musst einfach deine Gleichung nach a ider b umstellen. Da sollte dann a=b rauskommen
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und wie zeigt man, dat es nur für a=b gilt?

Vielleicht so?
,
, jetzt quadrieren, ergibt
, dann binom. Lehrsatz anwenden
, jetzt 4ab subtrahieren ergibt
, dann binom. Lehrsatz anwenden ergibt
, dann daraus die Wurzel ziehen
, also


Du kannst ja analog die Rechnung für das harmonische Mittel machen.
Billi Auf diesen Beitrag antworten »

Rock

Cool, haste vielleicht noch nen Ansatz für die Gleichung mit dem harmonischen Mittel für mich?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Was studierst du denn bitte, wenn dir der Schulstoff aus der 9. Klasse bereits Schwierigkeiten bereitet? Vom Prinzip her gehst du genauso vor, wie etzwane bei der 1. Gleichung. Zeig mal deine Ansätze dazu, damit nicht der Eindruck entsteht, dass du dir hier alles schön bequem vorrechnen lassen willst.

Gruß, therisen
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Billi
Cool, haste vielleicht noch nen Ansatz für die Gleichung mit dem harmonischen Mittel für mich?

Ansatz ja:



aber rechnen musst du schon selbst.
Dazu solltest du erstmals den Bruch im Nenner auf den Hauptnenner bringen und zusammenfassen, und dann weiterrechnen wie bei der anderen Aufgabe.
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